Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25249 / 24544
↖ ↑ ↗
← S 66.372755°
E 97.393799°		 ← 489.61 m → S 66.372755°
E 97.404785°		 →
↑
489.55 m
↓
↑
489.55 m
↓
S 66.377158°
E 97.393799°		 ← 489.53 m →
239 669 m²		 S 66.377158°
E 97.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770553588867188 y=0.749038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770553588867188 × 215)
    floor (0.770553588867188 × 32768)
    floor (25249.5)     		tx = 25249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749038696289062 × 215)
    floor (0.749038696289062 × 32768)
    floor (24544.5)     		ty = 24544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25249 / 24544 ti = "15/25249/24544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25249/24544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25249 ÷ 215
    25249 ÷ 32768     		x = 0.770538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24544 ÷ 215
    24544 ÷ 32768     		y = 0.7490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770538330078125 × 2 - 1) × π
    0.54107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69984246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    -0.498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69984246} λ = 1.69984246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56466040359863))-π/2
    2×atan(0.209159030768103)-π/2
    2×0.206186609200051-π/2
    0.412373218400102-1.57079632675     		φ = -1.15842311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69984246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15842311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.372755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25249 KachelY 24544 1.69984246 -1.15842311 97.393799 -66.372755
    Oben rechts KachelX + 1 25250 KachelY 24544 1.70003421 -1.15842311 97.404785 -66.372755
    Unten links KachelX 25249 KachelY + 1 24545 1.69984246 -1.15849995 97.393799 -66.377158
    Unten rechts KachelX + 1 25250 KachelY + 1 24545 1.70003421 -1.15849995 97.404785 -66.377158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15842311--1.15849995) × R
    7.68399999999669e-05 × 6371000     		dl = 489.547639999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15842311--1.15849995) × R
    7.68399999999669e-05 × 6371000     		dr = 489.547639999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69984246-1.70003421) × cos(-1.15842311) × R
    0.000191750000000157 × 0.400784729966169 × 6371000     		do = 489.614356927724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69984246-1.70003421) × cos(-1.15849995) × R
    0.000191750000000157 × 0.400714330106996 × 6371000     		du = 489.528353696564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15842311)-sin(-1.15849995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400784729966169-0.400714330106996)×R²
    abs(1.70003421-1.69984246)×7.03998591732868e-05×R²
    0.000191750000000157×7.03998591732868e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.03998591732868e-05×40589641000000     		ar = 239668.501722274m²