Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25245 / 24721
↖ ↑ ↗
← S 67.140098°
E 97.349854°		 ← 474.58 m → S 67.140098°
E 97.360840°		 →
↑
474.51 m
↓
↑
474.51 m
↓
S 67.144365°
E 97.349854°		 ← 474.50 m →
225 175 m²		 S 67.144365°
E 97.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770431518554688 y=0.754440307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770431518554688 × 215)
    floor (0.770431518554688 × 32768)
    floor (25245.5)     		tx = 25245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754440307617188 × 215)
    floor (0.754440307617188 × 32768)
    floor (24721.5)     		ty = 24721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25245 / 24721 ti = "15/25245/24721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25245/24721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25245 ÷ 215
    25245 ÷ 32768     		x = 0.770416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24721 ÷ 215
    24721 ÷ 32768     		y = 0.754425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770416259765625 × 2 - 1) × π
    0.54083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69907547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.50885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59859972852963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69907547} λ = 1.69907547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59859972852963))-π/2
    2×atan(0.202179425956518)-π/2
    2×0.199490280725879-π/2
    0.398980561451758-1.57079632675     		φ = -1.17181577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69907547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.349854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17181577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.140098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25245 KachelY 24721 1.69907547 -1.17181577 97.349854 -67.140098
    Oben rechts KachelX + 1 25246 KachelY 24721 1.69926722 -1.17181577 97.360840 -67.140098
    Unten links KachelX 25245 KachelY + 1 24722 1.69907547 -1.17189025 97.349854 -67.144365
    Unten rechts KachelX + 1 25246 KachelY + 1 24722 1.69926722 -1.17189025 97.360840 -67.144365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17181577--1.17189025) × R
    7.44799999998769e-05 × 6371000     		dl = 474.512079999216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17181577--1.17189025) × R
    7.44799999998769e-05 × 6371000     		dr = 474.512079999216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69907547-1.69926722) × cos(-1.17181577) × R
    0.000191750000000157 × 0.388479170745166 × 6371000     		do = 474.581402790136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69907547-1.69926722) × cos(-1.17189025) × R
    0.000191750000000157 × 0.388410539512743 × 6371000     		du = 474.497560182831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17181577)-sin(-1.17189025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388479170745166-0.388410539512743)×R²
    abs(1.69926722-1.69907547)×6.86312324235661e-05×R²
    0.000191750000000157×6.86312324235661e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.86312324235661e-05×40589641000000     		ar = 225174.716506045m²