Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25242 / 24602
↖ ↑ ↗
← S 66.626840°
E 97.316895°		 ← 484.62 m → S 66.626840°
E 97.327881°		 →
↑
484.64 m
↓
↑
484.64 m
↓
S 66.631199°
E 97.316895°		 ← 484.54 m →
234 847 m²		 S 66.631199°
E 97.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770339965820312 y=0.750808715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770339965820312 × 215)
    floor (0.770339965820312 × 32768)
    floor (25242.5)     		tx = 25242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750808715820312 × 215)
    floor (0.750808715820312 × 32768)
    floor (24602.5)     		ty = 24602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25242 / 24602 ti = "15/25242/24602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25242/24602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25242 ÷ 215
    25242 ÷ 32768     		x = 0.77032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24602 ÷ 215
    24602 ÷ 32768     		y = 0.75079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77032470703125 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69850023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57578176431049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69850023} λ = 1.69850023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57578176431049))-π/2
    2×atan(0.20684578480488)-π/2
    2×0.203969296115804-π/2
    0.407938592231609-1.57079632675     		φ = -1.16285773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69850023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.316895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16285773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.626840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25242 KachelY 24602 1.69850023 -1.16285773 97.316895 -66.626840
    Oben rechts KachelX + 1 25243 KachelY 24602 1.69869197 -1.16285773 97.327881 -66.626840
    Unten links KachelX 25242 KachelY + 1 24603 1.69850023 -1.16293380 97.316895 -66.631199
    Unten rechts KachelX + 1 25243 KachelY + 1 24603 1.69869197 -1.16293380 97.327881 -66.631199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16285773--1.16293380) × R
    7.60699999999837e-05 × 6371000     		dl = 484.641969999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16285773--1.16293380) × R
    7.60699999999837e-05 × 6371000     		dr = 484.641969999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69850023-1.69869197) × cos(-1.16285773) × R
    0.000191739999999996 × 0.396717926598165 × 6371000     		do = 484.620915411823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69850023-1.69869197) × cos(-1.16293380) × R
    0.000191739999999996 × 0.396648097711378 × 6371000     		du = 484.535614151739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16285773)-sin(-1.16293380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396717926598165-0.396648097711378)×R²
    abs(1.69869197-1.69850023)×6.98288867871932e-05×R²
    0.000191739999999996×6.98288867871932e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.98288867871932e-05×40589641000000     		ar = 234846.964975942m²