Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25241 / 24717
↖ ↑ ↗
← S 67.123020°
E 97.305908°		 ← 474.92 m → S 67.123020°
E 97.316895°		 →
↑
474.89 m
↓
↑
474.89 m
↓
S 67.127291°
E 97.305908°		 ← 474.83 m →
225 515 m²		 S 67.127291°
E 97.316895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770309448242188 y=0.754318237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770309448242188 × 215)
    floor (0.770309448242188 × 32768)
    floor (25241.5)     		tx = 25241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754318237304688 × 215)
    floor (0.754318237304688 × 32768)
    floor (24717.5)     		ty = 24717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25241 / 24717 ti = "15/25241/24717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25241/24717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25241 ÷ 215
    25241 ÷ 32768     		x = 0.770294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24717 ÷ 215
    24717 ÷ 32768     		y = 0.754302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770294189453125 × 2 - 1) × π
    0.54058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69830848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.50860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59783273813571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69830848} λ = 1.69830848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59783273813571))-π/2
    2×atan(0.202334555117758)-π/2
    2×0.199639313279524-π/2
    0.399278626559047-1.57079632675     		φ = -1.17151770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69830848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17151770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.123020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25241 KachelY 24717 1.69830848 -1.17151770 97.305908 -67.123020
    Oben rechts KachelX + 1 25242 KachelY 24717 1.69850023 -1.17151770 97.316895 -67.123020
    Unten links KachelX 25241 KachelY + 1 24718 1.69830848 -1.17159224 97.305908 -67.127291
    Unten rechts KachelX + 1 25242 KachelY + 1 24718 1.69850023 -1.17159224 97.316895 -67.127291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17151770--1.17159224) × R
    7.45399999999563e-05 × 6371000     		dl = 474.894339999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17151770--1.17159224) × R
    7.45399999999563e-05 × 6371000     		dr = 474.894339999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69830848-1.69850023) × cos(-1.17151770) × R
    0.000191750000000157 × 0.388753812322319 × 6371000     		do = 474.916915720467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69830848-1.69850023) × cos(-1.17159224) × R
    0.000191750000000157 × 0.38868513443428 × 6371000     		du = 474.833016116832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17151770)-sin(-1.17159224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388753812322319-0.38868513443428)×R²
    abs(1.69850023-1.69830848)×6.86778880386596e-05×R²
    0.000191750000000157×6.86778880386596e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.86778880386596e-05×40589641000000     		ar = 225515.433626753m²