Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2524 / 4412
↖ ↑ ↗
← N 63.587675°
W124.541016°		 ← 1 086.84 m → N 63.587675°
W124.519043°		 →
↑
1 087.02 m
↓
↑
1 087.02 m
↓
N 63.577900°
W124.541016°		 ← 1 087.21 m →
1 181 618 m²		 N 63.577900°
W124.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.154083251953125 y=0.269317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.154083251953125 × 214)
    floor (0.154083251953125 × 16384)
    floor (2524.5)     		tx = 2524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269317626953125 × 214)
    floor (0.269317626953125 × 16384)
    floor (4412.5)     		ty = 4412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2524 / 4412 ti = "14/2524/4412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2524/4412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2524 ÷ 214
    2524 ÷ 16384     		x = 0.154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4412 ÷ 214
    4412 ÷ 16384     		y = 0.269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.69189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.17365078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269287109375 × 2 - 1) × π
    0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17365078} λ = -2.17365078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4496118445105))-π/2
    2×atan(4.26146008497623)-π/2
    2×1.34030531217905-π/2
    2.68061062435809-1.57079632675     		φ = 1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17365078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.541016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2524 KachelY 4412 -2.17365078 1.10981430 -124.541016 63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 2525 KachelY 4412 -2.17326728 1.10981430 -124.519043 63.587675
    Unten links KachelX 2524 KachelY + 1 4413 -2.17365078 1.10964368 -124.541016 63.577900
    Unten rechts KachelX + 1 2525 KachelY + 1 4413 -2.17326728 1.10964368 -124.519043 63.577900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10981430-1.10964368) × R
    0.00017062000000001 × 6371000     		dl = 1087.02002000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10981430-1.10964368) × R
    0.00017062000000001 × 6371000     		dr = 1087.02002000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17365078--2.17326728) × cos(1.10981430) × R
    0.00038349999999987 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 1086.83829845423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17365078--2.17326728) × cos(1.10964368) × R
    0.00038349999999987 × 0.444980643862646 × 6371000     		du = 1087.21164006539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10981430)-sin(1.10964368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444980643862646)×R²
    abs(-2.17326728--2.17365078)×0.000152803542926683×R²
    0.00038349999999987×0.000152803542926683×6371000²
    0.00038349999999987×0.000152803542926683×40589641000000     		ar = 1181617.90669072m²