Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25239 / 24719
↖ ↑ ↗
← S 67.131560°
E 97.283935°		 ← 474.75 m → S 67.131560°
E 97.294922°		 →
↑
474.70 m
↓
↑
474.70 m
↓
S 67.135829°
E 97.283935°		 ← 474.67 m →
225 345 m²		 S 67.135829°
E 97.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770248413085938 y=0.754379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770248413085938 × 215)
    floor (0.770248413085938 × 32768)
    floor (25239.5)     		tx = 25239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754379272460938 × 215)
    floor (0.754379272460938 × 32768)
    floor (24719.5)     		ty = 24719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25239 / 24719 ti = "15/25239/24719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25239/24719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25239 ÷ 215
    25239 ÷ 32768     		x = 0.770233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24719 ÷ 215
    24719 ÷ 32768     		y = 0.754364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770233154296875 × 2 - 1) × π
    0.54046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69792498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.50872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59821623333267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69792498} λ = 1.69792498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59821623333267))-π/2
    2×atan(0.202256975664316)-π/2
    2×0.199564783837452-π/2
    0.399129567674903-1.57079632675     		φ = -1.17166676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69792498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.283935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17166676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.131560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25239 KachelY 24719 1.69792498 -1.17166676 97.283935 -67.131560
    Oben rechts KachelX + 1 25240 KachelY 24719 1.69811673 -1.17166676 97.294922 -67.131560
    Unten links KachelX 25239 KachelY + 1 24720 1.69792498 -1.17174127 97.283935 -67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 25240 KachelY + 1 24720 1.69811673 -1.17174127 97.294922 -67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17166676--1.17174127) × R
    7.45100000001386e-05 × 6371000     		dl = 474.703210000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17166676--1.17174127) × R
    7.45100000001386e-05 × 6371000     		dr = 474.703210000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69792498-1.69811673) × cos(-1.17166676) × R
    0.000191749999999935 × 0.388616472814617 × 6371000     		do = 474.749136386733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69792498-1.69811673) × cos(-1.17174127) × R
    0.000191749999999935 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 474.665265277325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17166676)-sin(-1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388616472814617-0.388547818251162)×R²
    abs(1.69811673-1.69792498)×6.86545634546176e-05×R²
    0.000191749999999935×6.86545634546176e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.86545634546176e-05×40589641000000     		ar = 225345.032149631m²