Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25235 / 24425
↖ ↑ ↗
← S 65.843272°
E 97.239990°		 ← 499.94 m → S 65.843272°
E 97.250976°		 →
↑
499.87 m
↓
↑
499.87 m
↓
S 65.847768°
E 97.239990°		 ← 499.85 m →
249 881 m²		 S 65.847768°
E 97.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770126342773438 y=0.745407104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770126342773438 × 215)
    floor (0.770126342773438 × 32768)
    floor (25235.5)     		tx = 25235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745407104492188 × 215)
    floor (0.745407104492188 × 32768)
    floor (24425.5)     		ty = 24425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25235 / 24425 ti = "15/25235/24425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25235/24425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25235 ÷ 215
    25235 ÷ 32768     		x = 0.770111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24425 ÷ 215
    24425 ÷ 32768     		y = 0.745391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770111083984375 × 2 - 1) × π
    0.54022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69715799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.49078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54184243937949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69715799} λ = 1.69715799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54184243937949))-π/2
    2×atan(0.213986480887333)-π/2
    2×0.210807219367601-π/2
    0.421614438735203-1.57079632675     		φ = -1.14918189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69715799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14918189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.843272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25235 KachelY 24425 1.69715799 -1.14918189 97.239990 -65.843272
    Oben rechts KachelX + 1 25236 KachelY 24425 1.69734974 -1.14918189 97.250976 -65.843272
    Unten links KachelX 25235 KachelY + 1 24426 1.69715799 -1.14926035 97.239990 -65.847768
    Unten rechts KachelX + 1 25236 KachelY + 1 24426 1.69734974 -1.14926035 97.250976 -65.847768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14918189--1.14926035) × R
    7.84600000001134e-05 × 6371000     		dl = 499.868660000723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14918189--1.14926035) × R
    7.84600000001134e-05 × 6371000     		dr = 499.868660000723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69715799-1.69734974) × cos(-1.14918189) × R
    0.000191749999999935 × 0.409234045406899 × 6371000     		do = 499.93637230518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69715799-1.69734974) × cos(-1.14926035) × R
    0.000191749999999935 × 0.40916245493293 × 6371000     		du = 499.848914572254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14918189)-sin(-1.14926035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409234045406899-0.40916245493293)×R²
    abs(1.69734974-1.69715799)×7.15904739689299e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15904739689299e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15904739689299e-05×40589641000000     		ar = 249880.66594847m²