Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25233 / 24779
↖ ↑ ↗
← S 67.386375°
E 97.218018°		 ← 469.74 m → S 67.386375°
E 97.229004°		 →
↑
469.67 m
↓
↑
469.67 m
↓
S 67.390599°
E 97.218018°		 ← 469.66 m →
220 603 m²		 S 67.390599°
E 97.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770065307617188 y=0.756210327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770065307617188 × 215)
    floor (0.770065307617188 × 32768)
    floor (25233.5)     		tx = 25233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756210327148438 × 215)
    floor (0.756210327148438 × 32768)
    floor (24779.5)     		ty = 24779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25233 / 24779 ti = "15/25233/24779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25233/24779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25233 ÷ 215
    25233 ÷ 32768     		x = 0.770050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24779 ÷ 215
    24779 ÷ 32768     		y = 0.756195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770050048828125 × 2 - 1) × π
    0.54010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69677450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.51239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60972108924149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69677450} λ = 1.69677450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60972108924149))-π/2
    2×atan(0.199943372656676)-π/2
    2×0.197341109888401-π/2
    0.394682219776802-1.57079632675     		φ = -1.17611411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69677450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.218018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17611411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.386375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25233 KachelY 24779 1.69677450 -1.17611411 97.218018 -67.386375
    Oben rechts KachelX + 1 25234 KachelY 24779 1.69696625 -1.17611411 97.229004 -67.386375
    Unten links KachelX 25233 KachelY + 1 24780 1.69677450 -1.17618783 97.218018 -67.390599
    Unten rechts KachelX + 1 25234 KachelY + 1 24780 1.69696625 -1.17618783 97.229004 -67.390599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17611411--1.17618783) × R
    7.37199999998328e-05 × 6371000     		dl = 469.670119998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17611411--1.17618783) × R
    7.37199999998328e-05 × 6371000     		dr = 469.670119998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69677450-1.69696625) × cos(-1.17611411) × R
    0.000191749999999935 × 0.384514856576507 × 6371000     		do = 469.738441001823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69677450-1.69696625) × cos(-1.17618783) × R
    0.000191749999999935 × 0.384446803213538 × 6371000     		du = 469.655304342525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17611411)-sin(-1.17618783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384514856576507-0.384446803213538)×R²
    abs(1.69696625-1.69677450)×6.80533629697222e-05×R²
    0.000191749999999935×6.80533629697222e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.80533629697222e-05×40589641000000     		ar = 220602.586650937m²