Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25231 / 29165
↖ ↑ ↗
← N 19.409612°
W 41.401977°		 ← 576.07 m → N 19.409612°
W 41.396484°		 →
↑
576.13 m
↓
↑
576.13 m
↓
N 19.404430°
W 41.401977°		 ← 576.09 m →
331 899 m²		 N 19.404430°
W 41.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.385002136230469 y=0.445030212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.385002136230469 × 216)
    floor (0.385002136230469 × 65536)
    floor (25231.5)     		tx = 25231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445030212402344 × 216)
    floor (0.445030212402344 × 65536)
    floor (29165.5)     		ty = 29165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25231 / 29165 ti = "16/25231/29165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25231/29165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25231 ÷ 216
    25231 ÷ 65536     		x = 0.384994506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29165 ÷ 216
    29165 ÷ 65536     		y = 0.445022583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384994506835938 × 2 - 1) × π
    -0.230010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72260082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445022583007812 × 2 - 1) × π
    0.109954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.345433298662125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72260082} λ = -0.72260082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345433298662125))-π/2
    2×atan(1.41260186557888)-π/2
    2×0.954778977433023-π/2
    1.90955795486605-1.57079632675     		φ = 0.33876163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72260082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.401977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33876163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.409612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25231 KachelY 29165 -0.72260082 0.33876163 -41.401977 19.409612
    Oben rechts KachelX + 1 25232 KachelY 29165 -0.72250495 0.33876163 -41.396484 19.409612
    Unten links KachelX 25231 KachelY + 1 29166 -0.72260082 0.33867120 -41.401977 19.404430
    Unten rechts KachelX + 1 25232 KachelY + 1 29166 -0.72250495 0.33867120 -41.396484 19.404430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33876163-0.33867120) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dl = 576.129529999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33876163-0.33867120) × R
    9.04299999999747e-05 × 6371000     		dr = 576.129529999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72260082--0.72250495) × cos(0.33876163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943166922947634 × 6371000     		do = 576.074821604935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72260082--0.72250495) × cos(0.33867120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94319697073069 × 6371000     		du = 576.093174423341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33876163)-sin(0.33867120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943166922947634-0.94319697073069)×R²
    abs(-0.72250495--0.72260082)×3.00477830559309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00477830559309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00477830559309e-05×40589641000000     		ar = 331899.003242459m²