Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2523 / 608
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 41.748047°		 ← 2 120.93 m → N 77.466029°
E 41.835938°		 →
↑
2 122.56 m
↓
↑
2 122.56 m
↓
N 77.446940°
E 41.748047°		 ← 2 124.11 m →
4 505 184 m²		 N 77.446940°
E 41.835938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6160888671875 y=0.1485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6160888671875 × 212)
    floor (0.6160888671875 × 4096)
    floor (2523.5)     		tx = 2523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1485595703125 × 212)
    floor (0.1485595703125 × 4096)
    floor (608.5)     		ty = 608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2523 / 608 ti = "12/2523/608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2523/608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2523 ÷ 212
    2523 ÷ 4096     		x = 0.615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 608 ÷ 212
    608 ÷ 4096     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615966796875 × 2 - 1) × π
    0.23193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72864087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72864087} λ = 0.72864087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72864087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2523 KachelY 608 0.72864087 1.35203726 41.748047 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 2524 KachelY 608 0.73017486 1.35203726 41.835938 77.466029
    Unten links KachelX 2523 KachelY + 1 609 0.72864087 1.35170410 41.748047 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 2524 KachelY + 1 609 0.73017486 1.35170410 41.835938 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dl = 2122.56235999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dr = 2122.56235999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72864087-0.73017486) × cos(1.35203726) × R
    0.00153398999999999 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 2120.93204797997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72864087-0.73017486) × cos(1.35170410) × R
    0.00153398999999999 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 2124.11032130088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217343639730815)×R²
    abs(0.73017486-0.72864087)×0.000325207916320958×R²
    0.00153398999999999×0.000325207916320958×6371000²
    0.00153398999999999×0.000325207916320958×40589641000000     		ar = 4505183.6164895m²