Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25224 / 35480
↖ ↑ ↗
← N 63.361982°
W110.720215°		 ← 136.94 m → N 63.361982°
W110.717468°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
N 63.360751°
W110.720215°		 ← 136.94 m →
18 749 m²		 N 63.360751°
W110.717468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.192447662353516 y=0.270694732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.192447662353516 × 217)
    floor (0.192447662353516 × 131072)
    floor (25224.5)     		tx = 25224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270694732666016 × 217)
    floor (0.270694732666016 × 131072)
    floor (35480.5)     		ty = 35480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25224 / 35480 ti = "17/25224/35480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25224/35480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25224 ÷ 217
    25224 ÷ 131072     		x = 0.19244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35480 ÷ 217
    35480 ÷ 131072     		y = 0.27069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.6151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.93243230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27069091796875 × 2 - 1) × π
    0.4586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44079145498041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93243230} λ = -1.93243230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44079145498041))-π/2
    2×atan(4.22403762999453)-π/2
    2×1.33833577068583-π/2
    2.67667154137167-1.57079632675     		φ = 1.10587521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93243230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10587521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.361982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25224 KachelY 35480 -1.93243230 1.10587521 -110.720215 63.361982
    Oben rechts KachelX + 1 25225 KachelY 35480 -1.93238436 1.10587521 -110.717468 63.361982
    Unten links KachelX 25224 KachelY + 1 35481 -1.93243230 1.10585372 -110.720215 63.360751
    Unten rechts KachelX + 1 25225 KachelY + 1 35481 -1.93238436 1.10585372 -110.717468 63.360751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10587521-1.10585372) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dl = 136.912789999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10587521-1.10585372) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dr = 136.912789999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93243230--1.93238436) × cos(1.10587521) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.448352292540653 × 6371000     		do = 136.93833073047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93243230--1.93238436) × cos(1.10585372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.448371501422674 × 6371000     		du = 136.944197617476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10587521)-sin(1.10585372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448352292540653-0.448371501422674)×R²
    abs(-1.93238436--1.93243230)×1.92088820209491e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.92088820209491e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.92088820209491e-05×40589641000000     		ar = 18749.0105448278m²