Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25221 / 24588
↖ ↑ ↗
← S 66.565747°
E 97.086182°		 ← 485.84 m → S 66.565747°
E 97.097168°		 →
↑
485.79 m
↓
↑
485.79 m
↓
S 66.570116°
E 97.086182°		 ← 485.76 m →
235 996 m²		 S 66.570116°
E 97.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769699096679688 y=0.750381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769699096679688 × 215)
    floor (0.769699096679688 × 32768)
    floor (25221.5)     		tx = 25221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750381469726562 × 215)
    floor (0.750381469726562 × 32768)
    floor (24588.5)     		ty = 24588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25221 / 24588 ti = "15/25221/24588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25221/24588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25221 ÷ 215
    25221 ÷ 32768     		x = 0.769683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24588 ÷ 215
    24588 ÷ 32768     		y = 0.7503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769683837890625 × 2 - 1) × π
    0.53936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69447353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57309729793176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69447353} λ = 1.69447353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57309729793176))-π/2
    2×atan(0.207401801329699)-π/2
    2×0.20450244058959-π/2
    0.409004881179179-1.57079632675     		φ = -1.16179145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69447353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.086182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16179145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.565747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25221 KachelY 24588 1.69447353 -1.16179145 97.086182 -66.565747
    Oben rechts KachelX + 1 25222 KachelY 24588 1.69466528 -1.16179145 97.097168 -66.565747
    Unten links KachelX 25221 KachelY + 1 24589 1.69447353 -1.16186770 97.086182 -66.570116
    Unten rechts KachelX + 1 25222 KachelY + 1 24589 1.69466528 -1.16186770 97.097168 -66.570116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16179145--1.16186770) × R
    7.62499999999999e-05 × 6371000     		dl = 485.78875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16179145--1.16186770) × R
    7.62499999999999e-05 × 6371000     		dr = 485.78875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69447353-1.69466528) × cos(-1.16179145) × R
    0.000191749999999935 × 0.397696482556931 × 6371000     		do = 485.841632678322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69447353-1.69466528) × cos(-1.16186770) × R
    0.000191749999999935 × 0.397626520727037 × 6371000     		du = 485.756164560922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16179145)-sin(-1.16186770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397696482556931-0.397626520727037)×R²
    abs(1.69466528-1.69447353)×6.99618298941607e-05×R²
    0.000191749999999935×6.99618298941607e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.99618298941607e-05×40589641000000     		ar = 235995.639826122m²