Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25220 / 24740
↖ ↑ ↗
← S 67.221053°
E 97.075195°		 ← 472.99 m → S 67.221053°
E 97.086182°		 →
↑
472.92 m
↓
↑
472.92 m
↓
S 67.225306°
E 97.075195°		 ← 472.91 m →
223 667 m²		 S 67.225306°
E 97.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769668579101562 y=0.755020141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769668579101562 × 215)
    floor (0.769668579101562 × 32768)
    floor (25220.5)     		tx = 25220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755020141601562 × 215)
    floor (0.755020141601562 × 32768)
    floor (24740.5)     		ty = 24740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25220 / 24740 ti = "15/25220/24740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25220/24740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25220 ÷ 215
    25220 ÷ 32768     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24740 ÷ 215
    24740 ÷ 32768     		y = 0.7550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60224293290076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60224293290076))-π/2
    2×atan(0.201444185117674)-π/2
    2×0.198783812937397-π/2
    0.397567625874794-1.57079632675     		φ = -1.17322870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17322870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.221053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25220 KachelY 24740 1.69428178 -1.17322870 97.075195 -67.221053
    Oben rechts KachelX + 1 25221 KachelY 24740 1.69447353 -1.17322870 97.086182 -67.221053
    Unten links KachelX 25220 KachelY + 1 24741 1.69428178 -1.17330293 97.075195 -67.225306
    Unten rechts KachelX + 1 25221 KachelY + 1 24741 1.69447353 -1.17330293 97.086182 -67.225306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17322870--1.17330293) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dl = 472.919330000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17322870--1.17330293) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dr = 472.919330000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69447353) × cos(-1.17322870) × R
    0.000191749999999935 × 0.387176828451289 × 6371000     		do = 472.990410326451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69447353) × cos(-1.17330293) × R
    0.000191749999999935 × 0.387108386917947 × 6371000     		du = 472.906799462991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17322870)-sin(-1.17330293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387176828451289-0.387108386917947)×R²
    abs(1.69447353-1.69428178)×6.84415333417898e-05×R²
    0.000191749999999935×6.84415333417898e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.84415333417898e-05×40589641000000     		ar = 223666.537454554m²