Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25215 / 29184
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W 41.489868°		 ← 576.48 m → N 19.311143°
W 41.484375°		 →
↑
576.45 m
↓
↑
576.45 m
↓
N 19.305959°
W 41.489868°		 ← 576.50 m →
332 318 m²		 N 19.305959°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384757995605469 y=0.445320129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384757995605469 × 216)
    floor (0.384757995605469 × 65536)
    floor (25215.5)     		tx = 25215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445320129394531 × 216)
    floor (0.445320129394531 × 65536)
    floor (29184.5)     		ty = 29184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25215 / 29184 ti = "16/25215/29184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25215/29184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25215 ÷ 216
    25215 ÷ 65536     		x = 0.384750366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29184 ÷ 216
    29184 ÷ 65536     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384750366210938 × 2 - 1) × π
    -0.230499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72413481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72413481} λ = -0.72413481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72413481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.489868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25215 KachelY 29184 -0.72413481 0.33704303 -41.489868 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 25216 KachelY 29184 -0.72403893 0.33704303 -41.484375 19.311143
    Unten links KachelX 25215 KachelY + 1 29185 -0.72413481 0.33695255 -41.489868 19.305959
    Unten rechts KachelX + 1 25216 KachelY + 1 29185 -0.72403893 0.33695255 -41.484375 19.305959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33695255) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dl = 576.448080000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33695255) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dr = 576.448080000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72413481--0.72403893) × cos(0.33704303) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 576.48293173638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72413481--0.72403893) × cos(0.33695255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943766571539219 × 6371000     		du = 576.501206999547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33695255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.943766571539219)×R²
    abs(-0.72403893--0.72413481)×2.99176866483952e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.99176866483952e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.99176866483952e-05×40589641000000     		ar = 332317.746749021m²