Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25214 / 41598
↖ ↑ ↗
← S 43.572432°
W 41.495361°		 ← 442.52 m → S 43.572432°
W 41.489868°		 →
↑
442.53 m
↓
↑
442.53 m
↓
S 43.576412°
W 41.495361°		 ← 442.49 m →
195 821 m²		 S 43.576412°
W 41.489868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384742736816406 y=0.634742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384742736816406 × 216)
    floor (0.384742736816406 × 65536)
    floor (25214.5)     		tx = 25214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634742736816406 × 216)
    floor (0.634742736816406 × 65536)
    floor (41598.5)     		ty = 41598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25214 / 41598 ti = "16/25214/41598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25214/41598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25214 ÷ 216
    25214 ÷ 65536     		x = 0.384735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41598 ÷ 216
    41598 ÷ 65536     		y = 0.634735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.72423068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.26947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.846565647290192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72423068} λ = -0.72423068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846565647290192))-π/2
    2×atan(0.428885349098769)-π/2
    2×0.405156964859811-π/2
    0.810313929719621-1.57079632675     		φ = -0.76048240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72423068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.495361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76048240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.572432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25214 KachelY 41598 -0.72423068 -0.76048240 -41.495361 -43.572432
    Oben rechts KachelX + 1 25215 KachelY 41598 -0.72413481 -0.76048240 -41.489868 -43.572432
    Unten links KachelX 25214 KachelY + 1 41599 -0.72423068 -0.76055186 -41.495361 -43.576412
    Unten rechts KachelX + 1 25215 KachelY + 1 41599 -0.72413481 -0.76055186 -41.489868 -43.576412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76048240--0.76055186) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dl = 442.529659999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76048240--0.76055186) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dr = 442.529659999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72423068--0.72413481) × cos(-0.76048240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724503590710468 × 6371000     		do = 442.51793252703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72423068--0.72413481) × cos(-0.76055186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724455712197299 × 6371000     		du = 442.488688916741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76048240)-sin(-0.76055186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724503590710468-0.724455712197299)×R²
    abs(-0.72413481--0.72423068)×4.78785131687864e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78785131687864e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78785131687864e-05×40589641000000     		ar = 195820.839721198m²