Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25213 / 41597
↖ ↑ ↗
← S 43.568452°
W 41.500854°		 ← 442.55 m → S 43.568452°
W 41.495361°		 →
↑
442.59 m
↓
↑
442.59 m
↓
S 43.572432°
W 41.500854°		 ← 442.52 m →
195 862 m²		 S 43.572432°
W 41.495361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384727478027344 y=0.634727478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384727478027344 × 216)
    floor (0.384727478027344 × 65536)
    floor (25213.5)     		tx = 25213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634727478027344 × 216)
    floor (0.634727478027344 × 65536)
    floor (41597.5)     		ty = 41597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25213 / 41597 ti = "16/25213/41597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25213/41597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25213 ÷ 216
    25213 ÷ 65536     		x = 0.384719848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41597 ÷ 216
    41597 ÷ 65536     		y = 0.634719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.230560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72432655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634719848632812 × 2 - 1) × π
    -0.269439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.846469773490952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72432655} λ = -0.72432655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846469773490952))-π/2
    2×atan(0.4289264699378)-π/2
    2×0.405191696463354-π/2
    0.810383392926707-1.57079632675     		φ = -0.76041293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72432655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.500854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76041293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.568452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25213 KachelY 41597 -0.72432655 -0.76041293 -41.500854 -43.568452
    Oben rechts KachelX + 1 25214 KachelY 41597 -0.72423068 -0.76041293 -41.495361 -43.568452
    Unten links KachelX 25213 KachelY + 1 41598 -0.72432655 -0.76048240 -41.500854 -43.572432
    Unten rechts KachelX + 1 25214 KachelY + 1 41598 -0.72423068 -0.76048240 -41.495361 -43.572432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76041293--0.76048240) × R
    6.94700000000159e-05 × 6371000     		dl = 442.593370000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76041293--0.76048240) × R
    6.94700000000159e-05 × 6371000     		dr = 442.593370000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72432655--0.72423068) × cos(-0.76041293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724551472620337 × 6371000     		do = 442.547178211982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72432655--0.72423068) × cos(-0.76048240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724503590710468 × 6371000     		du = 442.51793252703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76041293)-sin(-0.76048240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724551472620337-0.724503590710468)×R²
    abs(-0.72423068--0.72432655)×4.78819098693739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78819098693739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78819098693739e-05×40589641000000     		ar = 195861.975094334m²