Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25199 / 24845
↖ ↑ ↗
← S 67.663562°
E 96.844482°		 ← 464.28 m → S 67.663562°
E 96.855469°		 →
↑
464.25 m
↓
↑
464.25 m
↓
S 67.667737°
E 96.844482°		 ← 464.19 m →
215 524 m²		 S 67.667737°
E 96.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769027709960938 y=0.758224487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769027709960938 × 215)
    floor (0.769027709960938 × 32768)
    floor (25199.5)     		tx = 25199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758224487304688 × 215)
    floor (0.758224487304688 × 32768)
    floor (24845.5)     		ty = 24845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25199 / 24845 ti = "15/25199/24845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25199/24845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25199 ÷ 215
    25199 ÷ 32768     		x = 0.769012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24845 ÷ 215
    24845 ÷ 32768     		y = 0.758209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769012451171875 × 2 - 1) × π
    0.53802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69025508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.51641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62237643074118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69025508} λ = 1.69025508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62237643074118))-π/2
    2×atan(0.197428964897918)-π/2
    2×0.194922192848006-π/2
    0.389844385696013-1.57079632675     		φ = -1.18095194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69025508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18095194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.663562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25199 KachelY 24845 1.69025508 -1.18095194 96.844482 -67.663562
    Oben rechts KachelX + 1 25200 KachelY 24845 1.69044683 -1.18095194 96.855469 -67.663562
    Unten links KachelX 25199 KachelY + 1 24846 1.69025508 -1.18102481 96.844482 -67.667737
    Unten rechts KachelX + 1 25200 KachelY + 1 24846 1.69044683 -1.18102481 96.855469 -67.667737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18095194--1.18102481) × R
    7.28700000001137e-05 × 6371000     		dl = 464.254770000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18095194--1.18102481) × R
    7.28700000001137e-05 × 6371000     		dr = 464.254770000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69025508-1.69044683) × cos(-1.18095194) × R
    0.000191749999999935 × 0.380044482457288 × 6371000     		do = 464.277256515603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69025508-1.69044683) × cos(-1.18102481) × R
    0.000191749999999935 × 0.379977079014787 × 6371000     		du = 464.194913824658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18095194)-sin(-1.18102481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380044482457288-0.379977079014787)×R²
    abs(1.69044683-1.69025508)×6.74034425008907e-05×R²
    0.000191749999999935×6.74034425008907e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.74034425008907e-05×40589641000000     		ar = 215523.817041301m²