Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25194 / 25026
↖ ↑ ↗
← S 68.407267°
E 96.789551°		 ← 449.57 m → S 68.407267°
E 96.800537°		 →
↑
449.54 m
↓
↑
449.54 m
↓
S 68.411310°
E 96.789551°		 ← 449.49 m →
202 081 m²		 S 68.411310°
E 96.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768875122070312 y=0.763748168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768875122070312 × 215)
    floor (0.768875122070312 × 32768)
    floor (25194.5)     		tx = 25194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763748168945312 × 215)
    floor (0.763748168945312 × 32768)
    floor (25026.5)     		ty = 25026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25194 / 25026 ti = "15/25194/25026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25194/25026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25194 ÷ 215
    25194 ÷ 32768     		x = 0.76885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25026 ÷ 215
    25026 ÷ 32768     		y = 0.76373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76885986328125 × 2 - 1) × π
    0.5377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68929634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.5274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6570827460661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68929634} λ = 1.68929634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6570827460661))-π/2
    2×atan(0.190694473653129)-π/2
    2×0.188432137728173-π/2
    0.376864275456347-1.57079632675     		φ = -1.19393205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68929634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19393205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.407267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25194 KachelY 25026 1.68929634 -1.19393205 96.789551 -68.407267
    Oben rechts KachelX + 1 25195 KachelY 25026 1.68948809 -1.19393205 96.800537 -68.407267
    Unten links KachelX 25194 KachelY + 1 25027 1.68929634 -1.19400261 96.789551 -68.411310
    Unten rechts KachelX + 1 25195 KachelY + 1 25027 1.68948809 -1.19400261 96.800537 -68.411310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19393205--1.19400261) × R
    7.05600000001638e-05 × 6371000     		dl = 449.537760001044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19393205--1.19400261) × R
    7.05600000001638e-05 × 6371000     		dr = 449.537760001044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68929634-1.68948809) × cos(-1.19393205) × R
    0.000191749999999935 × 0.368006615353182 × 6371000     		do = 449.571325574947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68929634-1.68948809) × cos(-1.19400261) × R
    0.000191749999999935 × 0.367941006114125 × 6371000     		du = 449.491174753352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19393205)-sin(-1.19400261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368006615353182-0.367941006114125)×R²
    abs(1.68948809-1.68929634)×6.56092390567964e-05×R²
    0.000191749999999935×6.56092390567964e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.56092390567964e-05×40589641000000     		ar = 202081.271332405m²