Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25194 / 25020
↖ ↑ ↗
← S 68.382996°
E 96.789551°		 ← 450.05 m → S 68.382996°
E 96.800537°		 →
↑
449.98 m
↓
↑
449.98 m
↓
S 68.387043°
E 96.789551°		 ← 449.97 m →
202 498 m²		 S 68.387043°
E 96.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768875122070312 y=0.763565063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768875122070312 × 215)
    floor (0.768875122070312 × 32768)
    floor (25194.5)     		tx = 25194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763565063476562 × 215)
    floor (0.763565063476562 × 32768)
    floor (25020.5)     		ty = 25020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25194 / 25020 ti = "15/25194/25020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25194/25020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25194 ÷ 215
    25194 ÷ 32768     		x = 0.76885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25020 ÷ 215
    25020 ÷ 32768     		y = 0.7635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76885986328125 × 2 - 1) × π
    0.5377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68929634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65593226047522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68929634} λ = 1.68929634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65593226047522))-π/2
    2×atan(0.190913991148972)-π/2
    2×0.188643944144848-π/2
    0.377287888289696-1.57079632675     		φ = -1.19350844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68929634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19350844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.382996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25194 KachelY 25020 1.68929634 -1.19350844 96.789551 -68.382996
    Oben rechts KachelX + 1 25195 KachelY 25020 1.68948809 -1.19350844 96.800537 -68.382996
    Unten links KachelX 25194 KachelY + 1 25021 1.68929634 -1.19357907 96.789551 -68.387043
    Unten rechts KachelX + 1 25195 KachelY + 1 25021 1.68948809 -1.19357907 96.800537 -68.387043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19350844--1.19357907) × R
    7.06299999999604e-05 × 6371000     		dl = 449.983729999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19350844--1.19357907) × R
    7.06299999999604e-05 × 6371000     		dr = 449.983729999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68929634-1.68948809) × cos(-1.19350844) × R
    0.000191749999999935 × 0.36840046471671 × 6371000     		do = 450.05246741602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68929634-1.68948809) × cos(-1.19357907) × R
    0.000191749999999935 × 0.368334801403724 × 6371000     		du = 449.972250535591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19350844)-sin(-1.19357907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36840046471671-0.368334801403724)×R²
    abs(1.68948809-1.68929634)×6.56633129861306e-05×R²
    0.000191749999999935×6.56633129861306e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.56633129861306e-05×40589641000000     		ar = 202498.239921824m²