Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25192 / 25010
↖ ↑ ↗
← S 68.342487°
E 96.767578°		 ← 450.86 m → S 68.342487°
E 96.778565°		 →
↑
450.81 m
↓
↑
450.81 m
↓
S 68.346541°
E 96.767578°		 ← 450.77 m →
203 233 m²		 S 68.346541°
E 96.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768814086914062 y=0.763259887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768814086914062 × 215)
    floor (0.768814086914062 × 32768)
    floor (25192.5)     		tx = 25192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763259887695312 × 215)
    floor (0.763259887695312 × 32768)
    floor (25010.5)     		ty = 25010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25192 / 25010 ti = "15/25192/25010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25192/25010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25192 ÷ 215
    25192 ÷ 32768     		x = 0.768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25010 ÷ 215
    25010 ÷ 32768     		y = 0.76324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768798828125 × 2 - 1) × π
    0.53759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68891285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.5264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65401478449042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68891285} λ = 1.68891285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65401478449042))-π/2
    2×atan(0.191280415334682)-π/2
    2×0.188997458635127-π/2
    0.377994917270255-1.57079632675     		φ = -1.19280141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68891285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19280141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.342487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25192 KachelY 25010 1.68891285 -1.19280141 96.767578 -68.342487
    Oben rechts KachelX + 1 25193 KachelY 25010 1.68910460 -1.19280141 96.778565 -68.342487
    Unten links KachelX 25192 KachelY + 1 25011 1.68891285 -1.19287217 96.767578 -68.346541
    Unten rechts KachelX + 1 25193 KachelY + 1 25011 1.68910460 -1.19287217 96.778565 -68.346541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19280141--1.19287217) × R
    7.07600000000586e-05 × 6371000     		dl = 450.811960000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19280141--1.19287217) × R
    7.07600000000586e-05 × 6371000     		dr = 450.811960000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68891285-1.68910460) × cos(-1.19280141) × R
    0.000191750000000157 × 0.369057675180288 × 6371000     		do = 450.855341514361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68891285-1.68910460) × cos(-1.19287217) × R
    0.000191750000000157 × 0.368991909452847 × 6371000     		du = 450.774999520413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19280141)-sin(-1.19287217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369057675180288-0.368991909452847)×R²
    abs(1.68910460-1.68891285)×6.57657274418799e-05×R²
    0.000191750000000157×6.57657274418799e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.57657274418799e-05×40589641000000     		ar = 203232.870702904m²