Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25190 / 41566
↖ ↑ ↗
← S 43.444943°
W 41.627197°		 ← 443.45 m → S 43.444943°
W 41.621704°		 →
↑
443.42 m
↓
↑
443.42 m
↓
S 43.448931°
W 41.627197°		 ← 443.42 m →
196 630 m²		 S 43.448931°
W 41.621704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384376525878906 y=0.634254455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384376525878906 × 216)
    floor (0.384376525878906 × 65536)
    floor (25190.5)     		tx = 25190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634254455566406 × 216)
    floor (0.634254455566406 × 65536)
    floor (41566.5)     		ty = 41566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25190 / 41566 ti = "16/25190/41566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25190/41566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25190 ÷ 216
    25190 ÷ 65536     		x = 0.384368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41566 ÷ 216
    41566 ÷ 65536     		y = 0.634246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.23126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72653165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.26849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843497685714508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72653165} λ = -0.72653165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843497685714508))-π/2
    2×atan(0.43020317335361)-π/2
    2×0.406269514450988-π/2
    0.812539028901976-1.57079632675     		φ = -0.75825730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72653165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.627197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75825730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.444943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25190 KachelY 41566 -0.72653165 -0.75825730 -41.627197 -43.444943
    Oben rechts KachelX + 1 25191 KachelY 41566 -0.72643578 -0.75825730 -41.621704 -43.444943
    Unten links KachelX 25190 KachelY + 1 41567 -0.72653165 -0.75832690 -41.627197 -43.448931
    Unten rechts KachelX + 1 25191 KachelY + 1 41567 -0.72643578 -0.75832690 -41.621704 -43.448931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75825730--0.75832690) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dl = 443.421600000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75825730--0.75832690) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dr = 443.421600000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72653165--0.72643578) × cos(-0.75825730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726035492871207 × 6371000     		do = 443.453599631646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72653165--0.72643578) × cos(-0.75832690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		du = 443.424365678906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75825730)-sin(-0.75832690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726035492871207-0.725987630169668)×R²
    abs(-0.72643578--0.72653165)×4.78627015396693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78627015396693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78627015396693e-05×40589641000000     		ar = 196630.423270491m²