Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25190 / 24617
↖ ↑ ↗
← S 66.692131°
E 96.745605°		 ← 483.37 m → S 66.692131°
E 96.756592°		 →
↑
483.37 m
↓
↑
483.37 m
↓
S 66.696478°
E 96.745605°		 ← 483.28 m →
233 624 m²		 S 66.696478°
E 96.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768753051757812 y=0.751266479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768753051757812 × 215)
    floor (0.768753051757812 × 32768)
    floor (25190.5)     		tx = 25190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751266479492188 × 215)
    floor (0.751266479492188 × 32768)
    floor (24617.5)     		ty = 24617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25190 / 24617 ti = "15/25190/24617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25190/24617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25190 ÷ 215
    25190 ÷ 32768     		x = 0.76873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24617 ÷ 215
    24617 ÷ 32768     		y = 0.751251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68852935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57865797828769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68852935} λ = 1.68852935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57865797828769))-π/2
    2×atan(0.206251706824742)-π/2
    2×0.203399525905414-π/2
    0.406799051810829-1.57079632675     		φ = -1.16399727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68852935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.745605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16399727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.692131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25190 KachelY 24617 1.68852935 -1.16399727 96.745605 -66.692131
    Oben rechts KachelX + 1 25191 KachelY 24617 1.68872110 -1.16399727 96.756592 -66.692131
    Unten links KachelX 25190 KachelY + 1 24618 1.68852935 -1.16407314 96.745605 -66.696478
    Unten rechts KachelX + 1 25191 KachelY + 1 24618 1.68872110 -1.16407314 96.756592 -66.696478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16399727--1.16407314) × R
    7.58699999998669e-05 × 6371000     		dl = 483.367769999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16399727--1.16407314) × R
    7.58699999998669e-05 × 6371000     		dr = 483.367769999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68852935-1.68872110) × cos(-1.16399727) × R
    0.000191749999999935 × 0.395671639250201 × 6371000     		do = 483.368004619723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68852935-1.68872110) × cos(-1.16407314) × R
    0.000191749999999935 × 0.39560195970679 × 6371000     		du = 483.282881354569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16399727)-sin(-1.16407314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395671639250201-0.39560195970679)×R²
    abs(1.68872110-1.68852935)×6.96795434112496e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96795434112496e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96795434112496e-05×40589641000000     		ar = 233623.941673189m²