Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25190 / 24405
↖ ↑ ↗
← S 65.753195°
E 96.745605°		 ← 501.69 m → S 65.753195°
E 96.756592°		 →
↑
501.59 m
↓
↑
501.59 m
↓
S 65.757706°
E 96.745605°		 ← 501.60 m →
251 619 m²		 S 65.757706°
E 96.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768753051757812 y=0.744796752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768753051757812 × 215)
    floor (0.768753051757812 × 32768)
    floor (25190.5)     		tx = 25190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744796752929688 × 215)
    floor (0.744796752929688 × 32768)
    floor (24405.5)     		ty = 24405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25190 / 24405 ti = "15/25190/24405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25190/24405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25190 ÷ 215
    25190 ÷ 32768     		x = 0.76873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24405 ÷ 215
    24405 ÷ 32768     		y = 0.744781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68852935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.48956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53800748740988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68852935} λ = 1.68852935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53800748740988))-π/2
    2×atan(0.214808684311332)-π/2
    2×0.211593289979137-π/2
    0.423186579958274-1.57079632675     		φ = -1.14760975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68852935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.745605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14760975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.753195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25190 KachelY 24405 1.68852935 -1.14760975 96.745605 -65.753195
    Oben rechts KachelX + 1 25191 KachelY 24405 1.68872110 -1.14760975 96.756592 -65.753195
    Unten links KachelX 25190 KachelY + 1 24406 1.68852935 -1.14768848 96.745605 -65.757706
    Unten rechts KachelX + 1 25191 KachelY + 1 24406 1.68872110 -1.14768848 96.756592 -65.757706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14760975--1.14768848) × R
    7.87300000000268e-05 × 6371000     		dl = 501.588830000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14760975--1.14768848) × R
    7.87300000000268e-05 × 6371000     		dr = 501.588830000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68852935-1.68872110) × cos(-1.14760975) × R
    0.000191749999999935 × 0.4106680059108 × 6371000     		do = 501.688154739695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68852935-1.68872110) × cos(-1.14768848) × R
    0.000191749999999935 × 0.41059621980928 × 6371000     		du = 501.600458020474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14760975)-sin(-1.14768848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4106680059108-0.41059621980928)×R²
    abs(1.68872110-1.68852935)×7.17861015198107e-05×R²
    0.000191749999999935×7.17861015198107e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.17861015198107e-05×40589641000000     		ar = 251619.18084324m²