Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25186 / 41570
↖ ↑ ↗
← S 43.460894°
W 41.649170°		 ← 443.38 m → S 43.460894°
W 41.643677°		 →
↑
443.36 m
↓
↑
443.36 m
↓
S 43.464881°
W 41.649170°		 ← 443.35 m →
196 571 m²		 S 43.464881°
W 41.643677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384315490722656 y=0.634315490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384315490722656 × 216)
    floor (0.384315490722656 × 65536)
    floor (25186.5)     		tx = 25186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634315490722656 × 216)
    floor (0.634315490722656 × 65536)
    floor (41570.5)     		ty = 41570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25186 / 41570 ti = "16/25186/41570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25186/41570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25186 ÷ 216
    25186 ÷ 65536     		x = 0.384307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41570 ÷ 216
    41570 ÷ 65536     		y = 0.634307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.23138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72691515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.26861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.843881180911469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72691515} λ = -0.72691515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843881180911469))-π/2
    2×atan(0.430038224133551)-π/2
    2×0.406130317245219-π/2
    0.812260634490438-1.57079632675     		φ = -0.75853569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72691515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.649170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75853569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.460894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25186 KachelY 41570 -0.72691515 -0.75853569 -41.649170 -43.460894
    Oben rechts KachelX + 1 25187 KachelY 41570 -0.72681927 -0.75853569 -41.643677 -43.460894
    Unten links KachelX 25186 KachelY + 1 41571 -0.72691515 -0.75860528 -41.649170 -43.464881
    Unten rechts KachelX + 1 25187 KachelY + 1 41571 -0.72681927 -0.75860528 -41.643677 -43.464881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75853569--0.75860528) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dl = 443.357890000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75853569--0.75860528) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dr = 443.357890000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72691515--0.72681927) × cos(-0.75853569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.725844027843768 × 6371000     		do = 443.382898657236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72691515--0.72681927) × cos(-0.75860528) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.725796157956022 × 6371000     		du = 443.353657265459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75853569)-sin(-0.75860528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725844027843768-0.725796157956022)×R²
    abs(-0.72681927--0.72691515)×4.7869887745855e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7869887745855e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7869887745855e-05×40589641000000     		ar = 196570.824289748m²