Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25186 / 35487
↖ ↑ ↗
← N 63.353361°
W110.824585°		 ← 136.98 m → N 63.353361°
W110.821838°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
N 63.352129°
W110.824585°		 ← 136.99 m →
18 763 m²		 N 63.352129°
W110.821838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.192157745361328 y=0.270748138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.192157745361328 × 217)
    floor (0.192157745361328 × 131072)
    floor (25186.5)     		tx = 25186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270748138427734 × 217)
    floor (0.270748138427734 × 131072)
    floor (35487.5)     		ty = 35487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25186 / 35487 ti = "17/25186/35487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25186/35487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25186 ÷ 217
    25186 ÷ 131072     		x = 0.192153930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35487 ÷ 217
    35487 ÷ 131072     		y = 0.270744323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.192153930664062 × 2 - 1) × π
    -0.615692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.93425390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270744323730469 × 2 - 1) × π
    0.458511352539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.44045589668307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93425390} λ = -1.93425390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44045589668307))-π/2
    2×atan(4.2226204569049)-π/2
    2×1.33826053523832-π/2
    2.67652107047664-1.57079632675     		φ = 1.10572474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93425390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.824585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10572474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.353361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25186 KachelY 35487 -1.93425390 1.10572474 -110.824585 63.353361
    Oben rechts KachelX + 1 25187 KachelY 35487 -1.93420596 1.10572474 -110.821838 63.353361
    Unten links KachelX 25186 KachelY + 1 35488 -1.93425390 1.10570324 -110.824585 63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 25187 KachelY + 1 35488 -1.93420596 1.10570324 -110.821838 63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10572474-1.10570324) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10572474-1.10570324) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93425390--1.93420596) × cos(1.10572474) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.448486786117662 × 6371000     		do = 136.979408530753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93425390--1.93420596) × cos(1.10570324) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 136.985277704713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10572474)-sin(1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448486786117662-0.44850600248744)×R²
    abs(-1.93420596--1.93425390)×1.92163697786962e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.92163697786962e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.92163697786962e-05×40589641000000     		ar = 18763.3619229102m²