Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25184 / 24972
↖ ↑ ↗
← S 68.187889°
E 96.679688°		 ← 453.89 m → S 68.187889°
E 96.690674°		 →
↑
453.87 m
↓
↑
453.87 m
↓
S 68.191971°
E 96.679688°		 ← 453.81 m →
205 990 m²		 S 68.191971°
E 96.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768569946289062 y=0.762100219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768569946289062 × 215)
    floor (0.768569946289062 × 32768)
    floor (25184.5)     		tx = 25184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762100219726562 × 215)
    floor (0.762100219726562 × 32768)
    floor (24972.5)     		ty = 24972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25184 / 24972 ti = "15/25184/24972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25184/24972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25184 ÷ 215
    25184 ÷ 32768     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24972 ÷ 215
    24972 ÷ 32768     		y = 0.7620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64672837574817))-π/2
    2×atan(0.192679252686664)-π/2
    2×0.190346572511113-π/2
    0.380693145022227-1.57079632675     		φ = -1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25184 KachelY 24972 1.68737887 -1.19010318 96.679688 -68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 25185 KachelY 24972 1.68757061 -1.19010318 96.690674 -68.187889
    Unten links KachelX 25184 KachelY + 1 24973 1.68737887 -1.19017442 96.679688 -68.191971
    Unten rechts KachelX + 1 25185 KachelY + 1 24973 1.68757061 -1.19017442 96.690674 -68.191971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19010318--1.19017442) × R
    7.12400000000279e-05 × 6371000     		dl = 453.870040000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19010318--1.19017442) × R
    7.12400000000279e-05 × 6371000     		dr = 453.870040000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68757061) × cos(-1.19010318) × R
    0.000191739999999996 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 453.893593102641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68757061) × cos(-1.19017442) × R
    0.000191739999999996 × 0.371497940492706 × 6371000     		du = 453.812797266255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19010318)-sin(-1.19017442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371497940492706)×R²
    abs(1.68757061-1.68737887)×6.61406795902653e-05×R²
    0.000191739999999996×6.61406795902653e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.61406795902653e-05×40589641000000     		ar = 205990.367939527m²