Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25181 / 24667
↖ ↑ ↗
← S 66.908526°
E 96.646728°		 ← 479.13 m → S 66.908526°
E 96.657715°		 →
↑
479.10 m
↓
↑
479.10 m
↓
S 66.912834°
E 96.646728°		 ← 479.04 m →
229 529 m²		 S 66.912834°
E 96.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768478393554688 y=0.752792358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768478393554688 × 215)
    floor (0.768478393554688 × 32768)
    floor (25181.5)     		tx = 25181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752792358398438 × 215)
    floor (0.752792358398438 × 32768)
    floor (24667.5)     		ty = 24667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25181 / 24667 ti = "15/25181/24667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25181/24667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25181 ÷ 215
    25181 ÷ 32768     		x = 0.768463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24667 ÷ 215
    24667 ÷ 32768     		y = 0.752777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768463134765625 × 2 - 1) × π
    0.53692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68680362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.50555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5882453582117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68680362} λ = 1.68680362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5882453582117))-π/2
    2×atan(0.204283742237757)-π/2
    2×0.201511129123211-π/2
    0.403022258246422-1.57079632675     		φ = -1.16777407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68680362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.646728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16777407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.908526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25181 KachelY 24667 1.68680362 -1.16777407 96.646728 -66.908526
    Oben rechts KachelX + 1 25182 KachelY 24667 1.68699537 -1.16777407 96.657715 -66.908526
    Unten links KachelX 25181 KachelY + 1 24668 1.68680362 -1.16784927 96.646728 -66.912834
    Unten rechts KachelX + 1 25182 KachelY + 1 24668 1.68699537 -1.16784927 96.657715 -66.912834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16777407--1.16784927) × R
    7.5199999999942e-05 × 6371000     		dl = 479.09919999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16777407--1.16784927) × R
    7.5199999999942e-05 × 6371000     		dr = 479.09919999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68680362-1.68699537) × cos(-1.16777407) × R
    0.000191749999999935 × 0.392200242439331 × 6371000     		do = 479.12721002324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68680362-1.68699537) × cos(-1.16784927) × R
    0.000191749999999935 × 0.392131066364439 × 6371000     		du = 479.042701814991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16777407)-sin(-1.16784927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392200242439331-0.392131066364439)×R²
    abs(1.68699537-1.68680362)×6.91760748920411e-05×R²
    0.000191749999999935×6.91760748920411e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.91760748920411e-05×40589641000000     		ar = 229529.219221078m²