Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25179 / 24439
↖ ↑ ↗
← S 65.906139°
E 96.624756°		 ← 498.71 m → S 65.906139°
E 96.635742°		 →
↑
498.66 m
↓
↑
498.66 m
↓
S 65.910623°
E 96.624756°		 ← 498.63 m →
248 666 m²		 S 65.910623°
E 96.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768417358398438 y=0.745834350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768417358398438 × 215)
    floor (0.768417358398438 × 32768)
    floor (25179.5)     		tx = 25179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745834350585938 × 215)
    floor (0.745834350585938 × 32768)
    floor (24439.5)     		ty = 24439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25179 / 24439 ti = "15/25179/24439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25179/24439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25179 ÷ 215
    25179 ÷ 32768     		x = 0.768402099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24439 ÷ 215
    24439 ÷ 32768     		y = 0.745819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768402099609375 × 2 - 1) × π
    0.53680419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68642013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68642013} λ = 1.68642013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54452690575821))-π/2
    2×atan(0.213412811716197)-π/2
    2×0.210258604117135-π/2
    0.42051720823427-1.57079632675     		φ = -1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68642013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.624756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25179 KachelY 24439 1.68642013 -1.15027912 96.624756 -65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 25180 KachelY 24439 1.68661188 -1.15027912 96.635742 -65.906139
    Unten links KachelX 25179 KachelY + 1 24440 1.68642013 -1.15035739 96.624756 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 25180 KachelY + 1 24440 1.68661188 -1.15035739 96.635742 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15027912--1.15035739) × R
    7.82699999999359e-05 × 6371000     		dl = 498.658169999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15027912--1.15035739) × R
    7.82699999999359e-05 × 6371000     		dr = 498.658169999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68642013-1.68661188) × cos(-1.15027912) × R
    0.000191750000000157 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 498.713033630156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68642013-1.68661188) × cos(-1.15035739) × R
    0.000191750000000157 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 498.625744811643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15027912)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.40816120209893)×R²
    abs(1.68661188-1.68642013)×7.14522053158473e-05×R²
    0.000191750000000157×7.14522053158473e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.14522053158473e-05×40589641000000     		ar = 248665.565190032m²