Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25177 / 24955
↖ ↑ ↗
← S 68.118388°
E 96.602783°		 ← 455.29 m → S 68.118388°
E 96.613769°		 →
↑
455.21 m
↓
↑
455.21 m
↓
S 68.122482°
E 96.602783°		 ← 455.21 m →
207 234 m²		 S 68.122482°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768356323242188 y=0.761581420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768356323242188 × 215)
    floor (0.768356323242188 × 32768)
    floor (25177.5)     		tx = 25177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761581420898438 × 215)
    floor (0.761581420898438 × 32768)
    floor (24955.5)     		ty = 24955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25177 / 24955 ti = "15/25177/24955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25177/24955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25177 ÷ 215
    25177 ÷ 32768     		x = 0.768341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24955 ÷ 215
    24955 ÷ 32768     		y = 0.761566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768341064453125 × 2 - 1) × π
    0.53668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68603663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.52313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64346866657401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68603663} λ = 1.68603663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64346866657401))-π/2
    2×atan(0.193308355803864)-π/2
    2×0.190953085075173-π/2
    0.381906170150346-1.57079632675     		φ = -1.18889016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68603663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18889016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.118388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25177 KachelY 24955 1.68603663 -1.18889016 96.602783 -68.118388
    Oben rechts KachelX + 1 25178 KachelY 24955 1.68622838 -1.18889016 96.613769 -68.118388
    Unten links KachelX 25177 KachelY + 1 24956 1.68603663 -1.18896161 96.602783 -68.122482
    Unten rechts KachelX + 1 25178 KachelY + 1 24956 1.68622838 -1.18896161 96.613769 -68.122482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18889016--1.18896161) × R
    7.14500000000839e-05 × 6371000     		dl = 455.207950000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18889016--1.18896161) × R
    7.14500000000839e-05 × 6371000     		dr = 455.207950000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68603663-1.68622838) × cos(-1.18889016) × R
    0.000191749999999935 × 0.372689984168587 × 6371000     		do = 455.29271274207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68603663-1.68622838) × cos(-1.18896161) × R
    0.000191749999999935 × 0.372623680767378 × 6371000     		du = 455.211713904745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18889016)-sin(-1.18896161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372689984168587-0.372623680767378)×R²
    abs(1.68622838-1.68603663)×6.63034012080566e-05×R²
    0.000191749999999935×6.63034012080566e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.63034012080566e-05×40589641000000     		ar = 207234.426848119m²