Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25174 / 24444
↖ ↑ ↗
← S 65.928554°
E 96.569824°		 ← 498.28 m → S 65.928554°
E 96.580811°		 →
↑
498.21 m
↓
↑
498.21 m
↓
S 65.933035°
E 96.569824°		 ← 498.19 m →
248 226 m²		 S 65.933035°
E 96.580811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768264770507812 y=0.745986938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768264770507812 × 215)
    floor (0.768264770507812 × 32768)
    floor (25174.5)     		tx = 25174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745986938476562 × 215)
    floor (0.745986938476562 × 32768)
    floor (24444.5)     		ty = 24444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25174 / 24444 ti = "15/25174/24444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25174/24444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25174 ÷ 215
    25174 ÷ 32768     		x = 0.76824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24444 ÷ 215
    24444 ÷ 32768     		y = 0.7459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54548564375061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68546139} λ = 1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54548564375061))-π/2
    2×atan(0.21320830279644)-π/2
    2×0.210062995655588-π/2
    0.420125991311176-1.57079632675     		φ = -1.15067034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15067034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.928554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25174 KachelY 24444 1.68546139 -1.15067034 96.569824 -65.928554
    Oben rechts KachelX + 1 25175 KachelY 24444 1.68565314 -1.15067034 96.580811 -65.928554
    Unten links KachelX 25174 KachelY + 1 24445 1.68546139 -1.15074854 96.569824 -65.933035
    Unten rechts KachelX + 1 25175 KachelY + 1 24445 1.68565314 -1.15074854 96.580811 -65.933035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15067034--1.15074854) × R
    7.81999999999172e-05 × 6371000     		dl = 498.212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15067034--1.15074854) × R
    7.81999999999172e-05 × 6371000     		dr = 498.212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68546139-1.68565314) × cos(-1.15067034) × R
    0.000191750000000157 × 0.407875486972187 × 6371000     		do = 498.276703998496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68546139-1.68565314) × cos(-1.15074854) × R
    0.000191750000000157 × 0.40780408618789 × 6371000     		du = 498.189477997918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15067034)-sin(-1.15074854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407875486972187-0.40780408618789)×R²
    abs(1.68565314-1.68546139)×7.14007842969044e-05×R²
    0.000191750000000157×7.14007842969044e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.14007842969044e-05×40589641000000     		ar = 248225.804505288m²