Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25173 / 24446
↖ ↑ ↗
← S 65.937515°
E 96.558838°		 ← 498.10 m → S 65.937515°
E 96.569824°		 →
↑
498.02 m
↓
↑
498.02 m
↓
S 65.941993°
E 96.558838°		 ← 498.02 m →
248 044 m²		 S 65.941993°
E 96.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768234252929688 y=0.746047973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768234252929688 × 215)
    floor (0.768234252929688 × 32768)
    floor (25173.5)     		tx = 25173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746047973632812 × 215)
    floor (0.746047973632812 × 32768)
    floor (24446.5)     		ty = 24446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25173 / 24446 ti = "15/25173/24446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25173/24446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25173 ÷ 215
    25173 ÷ 32768     		x = 0.768218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24446 ÷ 215
    24446 ÷ 32768     		y = 0.74603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768218994140625 × 2 - 1) × π
    0.53643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68526964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54586913894757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68526964} λ = 1.68526964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54586913894757))-π/2
    2×atan(0.213126554112481)-π/2
    2×0.209984800200703-π/2
    0.419969600401407-1.57079632675     		φ = -1.15082673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68526964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15082673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.937515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25173 KachelY 24446 1.68526964 -1.15082673 96.558838 -65.937515
    Oben rechts KachelX + 1 25174 KachelY 24446 1.68546139 -1.15082673 96.569824 -65.937515
    Unten links KachelX 25173 KachelY + 1 24447 1.68526964 -1.15090490 96.558838 -65.941993
    Unten rechts KachelX + 1 25174 KachelY + 1 24447 1.68546139 -1.15090490 96.569824 -65.941993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15082673--1.15090490) × R
    7.81700000000995e-05 × 6371000     		dl = 498.021070000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15082673--1.15090490) × R
    7.81700000000995e-05 × 6371000     		dr = 498.021070000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68526964-1.68546139) × cos(-1.15082673) × R
    0.000191749999999935 × 0.407732692040787 × 6371000     		do = 498.102260105019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68526964-1.68546139) × cos(-1.15090490) × R
    0.000191749999999935 × 0.407661313663602 × 6371000     		du = 498.015061477849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15082673)-sin(-1.15090490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407732692040787-0.407661313663602)×R²
    abs(1.68546139-1.68526964)×7.13783771849608e-05×R²
    0.000191749999999935×7.13783771849608e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.13783771849608e-05×40589641000000     		ar = 248043.707296814m²