Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25172 / 29134
↖ ↑ ↗
← N 19.570142°
W 41.726074°		 ← 575.50 m → N 19.570142°
W 41.720581°		 →
↑
575.56 m
↓
↑
575.56 m
↓
N 19.564966°
W 41.726074°		 ← 575.52 m →
331 240 m²		 N 19.564966°
W 41.720581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384101867675781 y=0.444557189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384101867675781 × 216)
    floor (0.384101867675781 × 65536)
    floor (25172.5)     		tx = 25172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444557189941406 × 216)
    floor (0.444557189941406 × 65536)
    floor (29134.5)     		ty = 29134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25172 / 29134 ti = "16/25172/29134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25172/29134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25172 ÷ 216
    25172 ÷ 65536     		x = 0.38409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29134 ÷ 216
    29134 ÷ 65536     		y = 0.444549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72825738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    0.11090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348405386438568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72825738} λ = -0.72825738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348405386438568))-π/2
    2×atan(1.41680648747416)-π/2
    2×0.956179871108371-π/2
    1.91235974221674-1.57079632675     		φ = 0.34156342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72825738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34156342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.570142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25172 KachelY 29134 -0.72825738 0.34156342 -41.726074 19.570142
    Oben rechts KachelX + 1 25173 KachelY 29134 -0.72816151 0.34156342 -41.720581 19.570142
    Unten links KachelX 25172 KachelY + 1 29135 -0.72825738 0.34147308 -41.726074 19.564966
    Unten rechts KachelX + 1 25173 KachelY + 1 29135 -0.72816151 0.34147308 -41.720581 19.564966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34156342-0.34147308) × R
    9.03400000000221e-05 × 6371000     		dl = 575.556140000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34156342-0.34147308) × R
    9.03400000000221e-05 × 6371000     		dr = 575.556140000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72825738--0.72816151) × cos(0.34156342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942232133172211 × 6371000     		do = 575.503863442585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72825738--0.72816151) × cos(0.34147308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942262389668341 × 6371000     		du = 575.522343740385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34156342)-sin(0.34147308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942232133172211-0.942262389668341)×R²
    abs(-0.72816151--0.72825738)×3.02564961301988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02564961301988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02564961301988e-05×40589641000000     		ar = 331240.100647763m²