Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25172 / 24996
↖ ↑ ↗
← S 68.285651°
E 96.547852°		 ← 451.96 m → S 68.285651°
E 96.558838°		 →
↑
451.96 m
↓
↑
451.96 m
↓
S 68.289716°
E 96.547852°		 ← 451.88 m →
204 248 m²		 S 68.289716°
E 96.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768203735351562 y=0.762832641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768203735351562 × 215)
    floor (0.768203735351562 × 32768)
    floor (25172.5)     		tx = 25172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762832641601562 × 215)
    floor (0.762832641601562 × 32768)
    floor (24996.5)     		ty = 24996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25172 / 24996 ti = "15/25172/24996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25172/24996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25172 ÷ 215
    25172 ÷ 32768     		x = 0.7681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24996 ÷ 215
    24996 ÷ 32768     		y = 0.7628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7681884765625 × 2 - 1) × π
    0.536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68507790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65133031811169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68507790} λ = 1.68507790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65133031811169))-π/2
    2×atan(0.191794591013439)-π/2
    2×0.189493438482727-π/2
    0.378986876965454-1.57079632675     		φ = -1.19180945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68507790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19180945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.285651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25172 KachelY 24996 1.68507790 -1.19180945 96.547852 -68.285651
    Oben rechts KachelX + 1 25173 KachelY 24996 1.68526964 -1.19180945 96.558838 -68.285651
    Unten links KachelX 25172 KachelY + 1 24997 1.68507790 -1.19188039 96.547852 -68.289716
    Unten rechts KachelX + 1 25173 KachelY + 1 24997 1.68526964 -1.19188039 96.558838 -68.289716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19180945--1.19188039) × R
    7.09399999998528e-05 × 6371000     		dl = 451.958739999062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19180945--1.19188039) × R
    7.09399999998528e-05 × 6371000     		dr = 451.958739999062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68507790-1.68526964) × cos(-1.19180945) × R
    0.000191739999999996 × 0.369979427522049 × 6371000     		do = 451.957818964128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68507790-1.68526964) × cos(-1.19188039) × R
    0.000191739999999996 × 0.369913520497303 × 6371000     		du = 451.877308554784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19180945)-sin(-1.19188039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369979427522049-0.369913520497303)×R²
    abs(1.68526964-1.68507790)×6.59070247458482e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59070247458482e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59070247458482e-05×40589641000000     		ar = 204248.092785896m²