Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25168 / 24656
↖ ↑ ↗
← S 66.861082°
E 96.503907°		 ← 480.03 m → S 66.861082°
E 96.514892°		 →
↑
479.99 m
↓
↑
479.99 m
↓
S 66.865399°
E 96.503907°		 ← 479.95 m →
230 391 m²		 S 66.865399°
E 96.514892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768081665039062 y=0.752456665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768081665039062 × 215)
    floor (0.768081665039062 × 32768)
    floor (25168.5)     		tx = 25168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752456665039062 × 215)
    floor (0.752456665039062 × 32768)
    floor (24656.5)     		ty = 24656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25168 / 24656 ti = "15/25168/24656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25168/24656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25168 ÷ 215
    25168 ÷ 32768     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24656 ÷ 215
    24656 ÷ 32768     		y = 0.75244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58613613462842))-π/2
    2×atan(0.20471507705544)-π/2
    2×0.201925149595803-π/2
    0.403850299191607-1.57079632675     		φ = -1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25168 KachelY 24656 1.68431091 -1.16694603 96.503907 -66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 25169 KachelY 24656 1.68450265 -1.16694603 96.514892 -66.861082
    Unten links KachelX 25168 KachelY + 1 24657 1.68431091 -1.16702137 96.503907 -66.865399
    Unten rechts KachelX + 1 25169 KachelY + 1 24657 1.68450265 -1.16702137 96.514892 -66.865399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16694603--1.16702137) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dl = 479.991139999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16694603--1.16702137) × R
    7.53399999999793e-05 × 6371000     		dr = 479.991139999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68450265) × cos(-1.16694603) × R
    0.000191739999999996 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 480.032529412603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68450265) × cos(-1.16702137) × R
    0.000191739999999996 × 0.392892524847942 × 6371000     		du = 479.947898203078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16694603)-sin(-1.16702137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.392892524847942)×R²
    abs(1.68450265-1.68431091)×6.92803733819414e-05×R²
    0.000191739999999996×6.92803733819414e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.92803733819414e-05×40589641000000     		ar = 230391.050023166m²