Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25167 / 24713
↖ ↑ ↗
← S 67.105930°
E 96.492920°		 ← 475.25 m → S 67.105930°
E 96.503907°		 →
↑
475.21 m
↓
↑
475.21 m
↓
S 67.110203°
E 96.492920°		 ← 475.17 m →
225 826 m²		 S 67.110203°
E 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768051147460938 y=0.754196166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768051147460938 × 215)
    floor (0.768051147460938 × 32768)
    floor (25167.5)     		tx = 25167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754196166992188 × 215)
    floor (0.754196166992188 × 32768)
    floor (24713.5)     		ty = 24713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25167 / 24713 ti = "15/25167/24713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25167/24713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25167 ÷ 215
    25167 ÷ 32768     		x = 0.768035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24713 ÷ 215
    24713 ÷ 32768     		y = 0.754180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768035888671875 × 2 - 1) × π
    0.53607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68411916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.50836181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59706574774179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68411916} λ = 1.68411916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59706574774179))-π/2
    2×atan(0.202489803307216)-π/2
    2×0.199788451185762-π/2
    0.399576902371523-1.57079632675     		φ = -1.17121942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68411916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17121942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.105930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25167 KachelY 24713 1.68411916 -1.17121942 96.492920 -67.105930
    Oben rechts KachelX + 1 25168 KachelY 24713 1.68431091 -1.17121942 96.503907 -67.105930
    Unten links KachelX 25167 KachelY + 1 24714 1.68411916 -1.17129401 96.492920 -67.110203
    Unten rechts KachelX + 1 25168 KachelY + 1 24714 1.68431091 -1.17129401 96.503907 -67.110203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17121942--1.17129401) × R
    7.45900000000965e-05 × 6371000     		dl = 475.212890000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17121942--1.17129401) × R
    7.45900000000965e-05 × 6371000     		dr = 475.212890000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68411916-1.68431091) × cos(-1.17121942) × R
    0.000191749999999935 × 0.389028612817757 × 6371000     		do = 475.252622791064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68411916-1.68431091) × cos(-1.17129401) × R
    0.000191749999999935 × 0.388959897512747 × 6371000     		du = 475.168677477388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17121942)-sin(-1.17129401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389028612817757-0.388959897512747)×R²
    abs(1.68431091-1.68411916)×6.87153050100142e-05×R²
    0.000191749999999935×6.87153050100142e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.87153050100142e-05×40589641000000     		ar = 225826.226513635m²