Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25166 / 24950
↖ ↑ ↗
← S 68.097907°
E 96.481934°		 ← 455.70 m → S 68.097907°
E 96.492920°		 →
↑
455.65 m
↓
↑
455.65 m
↓
S 68.102005°
E 96.481934°		 ← 455.62 m →
207 622 m²		 S 68.102005°
E 96.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768020629882812 y=0.761428833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768020629882812 × 215)
    floor (0.768020629882812 × 32768)
    floor (25166.5)     		tx = 25166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761428833007812 × 215)
    floor (0.761428833007812 × 32768)
    floor (24950.5)     		ty = 24950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25166 / 24950 ti = "15/25166/24950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25166/24950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25166 ÷ 215
    25166 ÷ 32768     		x = 0.76800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24950 ÷ 215
    24950 ÷ 32768     		y = 0.76141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76800537109375 × 2 - 1) × π
    0.5360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68392741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.5228271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6425099285816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68392741} λ = 1.68392741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6425099285816))-π/2
    2×atan(0.193493776739667)-π/2
    2×0.191131820592186-π/2
    0.382263641184372-1.57079632675     		φ = -1.18853269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68392741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.481934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18853269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.097907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25166 KachelY 24950 1.68392741 -1.18853269 96.481934 -68.097907
    Oben rechts KachelX + 1 25167 KachelY 24950 1.68411916 -1.18853269 96.492920 -68.097907
    Unten links KachelX 25166 KachelY + 1 24951 1.68392741 -1.18860421 96.481934 -68.102005
    Unten rechts KachelX + 1 25167 KachelY + 1 24951 1.68411916 -1.18860421 96.492920 -68.102005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18853269--1.18860421) × R
    7.15200000001026e-05 × 6371000     		dl = 455.653920000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18853269--1.18860421) × R
    7.15200000001026e-05 × 6371000     		dr = 455.653920000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68392741-1.68411916) × cos(-1.18853269) × R
    0.000191750000000157 × 0.373021676749536 × 6371000     		do = 455.697921418419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68392741-1.68411916) × cos(-1.18860421) × R
    0.000191750000000157 × 0.372955317921228 × 6371000     		du = 455.616854869174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18853269)-sin(-1.18860421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373021676749536-0.372955317921228)×R²
    abs(1.68411916-1.68392741)×6.63588283079664e-05×R²
    0.000191750000000157×6.63588283079664e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.63588283079664e-05×40589641000000     		ar = 207622.075173702m²