Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25164 / 24652
↖ ↑ ↗
← S 66.843807°
E 96.459961°		 ← 480.40 m → S 66.843807°
E 96.470947°		 →
↑
480.37 m
↓
↑
480.37 m
↓
S 66.848127°
E 96.459961°		 ← 480.31 m →
230 749 m²		 S 66.848127°
E 96.470947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767959594726562 y=0.752334594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767959594726562 × 215)
    floor (0.767959594726562 × 32768)
    floor (25164.5)     		tx = 25164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752334594726562 × 215)
    floor (0.752334594726562 × 32768)
    floor (24652.5)     		ty = 24652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25164 / 24652 ti = "15/25164/24652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25164/24652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25164 ÷ 215
    25164 ÷ 32768     		x = 0.7679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24652 ÷ 215
    24652 ÷ 32768     		y = 0.7523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7679443359375 × 2 - 1) × π
    0.535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68354391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5853691442345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68354391} λ = 1.68354391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5853691442345))-π/2
    2×atan(0.204872151782735)-π/2
    2×0.202075901714966-π/2
    0.404151803429932-1.57079632675     		φ = -1.16664452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68354391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16664452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.843807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25164 KachelY 24652 1.68354391 -1.16664452 96.459961 -66.843807
    Oben rechts KachelX + 1 25165 KachelY 24652 1.68373566 -1.16664452 96.470947 -66.843807
    Unten links KachelX 25164 KachelY + 1 24653 1.68354391 -1.16671992 96.459961 -66.848127
    Unten rechts KachelX + 1 25165 KachelY + 1 24653 1.68373566 -1.16671992 96.470947 -66.848127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16664452--1.16671992) × R
    7.54000000000588e-05 × 6371000     		dl = 480.373400000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16664452--1.16671992) × R
    7.54000000000588e-05 × 6371000     		dr = 480.373400000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68354391-1.68373566) × cos(-1.16664452) × R
    0.000191749999999935 × 0.393239042321398 × 6371000     		do = 480.396248732068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68354391-1.68373566) × cos(-1.16671992) × R
    0.000191749999999935 × 0.393169715708851 × 6371000     		du = 480.311556621111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16664452)-sin(-1.16671992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393239042321398-0.393169715708851)×R²
    abs(1.68373566-1.68354391)×6.93266125469383e-05×R²
    0.000191749999999935×6.93266125469383e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.93266125469383e-05×40589641000000     		ar = 230749.23754194m²