Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25159 / 28923
↖ ↑ ↗
← N 20.658486°
W 41.797485°		 ← 571.57 m → N 20.658486°
W 41.791992°		 →
↑
571.54 m
↓
↑
571.54 m
↓
N 20.653346°
W 41.797485°		 ← 571.59 m →
326 684 m²		 N 20.653346°
W 41.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383903503417969 y=0.441337585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383903503417969 × 216)
    floor (0.383903503417969 × 65536)
    floor (25159.5)     		tx = 25159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441337585449219 × 216)
    floor (0.441337585449219 × 65536)
    floor (28923.5)     		ty = 28923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25159 / 28923 ti = "16/25159/28923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25159/28923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25159 ÷ 216
    25159 ÷ 65536     		x = 0.383895874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28923 ÷ 216
    28923 ÷ 65536     		y = 0.441329956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.232208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72950374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441329956054688 × 2 - 1) × π
    0.117340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.368634758078232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72950374} λ = -0.72950374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368634758078232))-π/2
    2×atan(1.44575945526778)-π/2
    2×0.965677464622065-π/2
    1.93135492924413-1.57079632675     		φ = 0.36055860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72950374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.797485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36055860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.658486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25159 KachelY 28923 -0.72950374 0.36055860 -41.797485 20.658486
    Oben rechts KachelX + 1 25160 KachelY 28923 -0.72940786 0.36055860 -41.791992 20.658486
    Unten links KachelX 25159 KachelY + 1 28924 -0.72950374 0.36046889 -41.797485 20.653346
    Unten rechts KachelX + 1 25160 KachelY + 1 28924 -0.72940786 0.36046889 -41.791992 20.653346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36055860-0.36046889) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dl = 571.542410000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36055860-0.36046889) × R
    8.97100000000206e-05 × 6371000     		dr = 571.542410000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72950374--0.72940786) × cos(0.36055860) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935699897285669 × 6371000     		do = 571.573667092424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72950374--0.72940786) × cos(0.36046889) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		du = 571.592997885146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36055860)-sin(0.36046889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935699897285669-0.935731542936626)×R²
    abs(-0.72940786--0.72950374)×3.1645650956813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1645650956813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1645650956813e-05×40589641000000     		ar = 326684.115585778m²