Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25159 / 24902
↖ ↑ ↗
← S 67.900354°
E 96.405029°		 ← 459.58 m → S 67.900354°
E 96.416015°		 →
↑
459.60 m
↓
↑
459.60 m
↓
S 67.904487°
E 96.405029°		 ← 459.50 m →
211 206 m²		 S 67.904487°
E 96.416015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767807006835938 y=0.759963989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767807006835938 × 215)
    floor (0.767807006835938 × 32768)
    floor (25159.5)     		tx = 25159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759963989257812 × 215)
    floor (0.759963989257812 × 32768)
    floor (24902.5)     		ty = 24902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25159 / 24902 ti = "15/25159/24902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25159/24902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25159 ÷ 215
    25159 ÷ 32768     		x = 0.767791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24902 ÷ 215
    24902 ÷ 32768     		y = 0.75994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767791748046875 × 2 - 1) × π
    0.53558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68258518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63330604385455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68258518} λ = 1.68258518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63330604385455))-π/2
    2×atan(0.195282891931307)-π/2
    2×0.192855791986382-π/2
    0.385711583972765-1.57079632675     		φ = -1.18508474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68258518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.405029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18508474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.900354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25159 KachelY 24902 1.68258518 -1.18508474 96.405029 -67.900354
    Oben rechts KachelX + 1 25160 KachelY 24902 1.68277692 -1.18508474 96.416015 -67.900354
    Unten links KachelX 25159 KachelY + 1 24903 1.68258518 -1.18515688 96.405029 -67.904487
    Unten rechts KachelX + 1 25160 KachelY + 1 24903 1.68277692 -1.18515688 96.416015 -67.904487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18508474--1.18515688) × R
    7.21400000001093e-05 × 6371000     		dl = 459.603940000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18508474--1.18515688) × R
    7.21400000001093e-05 × 6371000     		dr = 459.603940000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68258518-1.68277692) × cos(-1.18508474) × R
    0.000191739999999996 × 0.376218539134802 × 6371000     		do = 459.579365101597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68258518-1.68277692) × cos(-1.18515688) × R
    0.000191739999999996 × 0.376151698212803 × 6371000     		du = 459.497713866212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18508474)-sin(-1.18515688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376218539134802-0.376151698212803)×R²
    abs(1.68277692-1.68258518)×6.68409219995447e-05×R²
    0.000191739999999996×6.68409219995447e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.68409219995447e-05×40589641000000     		ar = 211205.723420722m²