Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25158 / 24899
↖ ↑ ↗
← S 67.887951°
E 96.394043°		 ← 459.85 m → S 67.887951°
E 96.405029°		 →
↑
459.80 m
↓
↑
459.80 m
↓
S 67.892086°
E 96.394043°		 ← 459.77 m →
211 417 m²		 S 67.892086°
E 96.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767776489257812 y=0.759872436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767776489257812 × 215)
    floor (0.767776489257812 × 32768)
    floor (25158.5)     		tx = 25158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759872436523438 × 215)
    floor (0.759872436523438 × 32768)
    floor (24899.5)     		ty = 24899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25158 / 24899 ti = "15/25158/24899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25158/24899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25158 ÷ 215
    25158 ÷ 32768     		x = 0.76776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24899 ÷ 215
    24899 ÷ 32768     		y = 0.759857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76776123046875 × 2 - 1) × π
    0.5355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68239343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.51971435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63273080105911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68239343} λ = 1.68239343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63273080105911))-π/2
    2×atan(0.195395259324131)-π/2
    2×0.19296402932848-π/2
    0.385928058656961-1.57079632675     		φ = -1.18486827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68239343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18486827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.887951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25158 KachelY 24899 1.68239343 -1.18486827 96.394043 -67.887951
    Oben rechts KachelX + 1 25159 KachelY 24899 1.68258518 -1.18486827 96.405029 -67.887951
    Unten links KachelX 25158 KachelY + 1 24900 1.68239343 -1.18494044 96.394043 -67.892086
    Unten rechts KachelX + 1 25159 KachelY + 1 24900 1.68258518 -1.18494044 96.405029 -67.892086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18486827--1.18494044) × R
    7.21700000001491e-05 × 6371000     		dl = 459.79507000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18486827--1.18494044) × R
    7.21700000001491e-05 × 6371000     		dr = 459.79507000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68239343-1.68258518) × cos(-1.18486827) × R
    0.000191749999999935 × 0.376419096474431 × 6371000     		do = 459.848342702546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68239343-1.68258518) × cos(-1.18494044) × R
    0.000191749999999935 × 0.37635223363426 × 6371000     		du = 459.766660432626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18486827)-sin(-1.18494044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376419096474431-0.37635223363426)×R²
    abs(1.68258518-1.68239343)×6.68628401714333e-05×R²
    0.000191749999999935×6.68628401714333e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.68628401714333e-05×40589641000000     		ar = 211417.222461789m²