Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25157 / 24380
↖ ↑ ↗
← S 65.640155°
E 96.383057°		 ← 503.88 m → S 65.640155°
E 96.394043°		 →
↑
503.88 m
↓
↑
503.88 m
↓
S 65.644686°
E 96.383057°		 ← 503.80 m →
253 876 m²		 S 65.644686°
E 96.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767745971679688 y=0.744033813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767745971679688 × 215)
    floor (0.767745971679688 × 32768)
    floor (25157.5)     		tx = 25157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744033813476562 × 215)
    floor (0.744033813476562 × 32768)
    floor (24380.5)     		ty = 24380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25157 / 24380 ti = "15/25157/24380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25157/24380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25157 ÷ 215
    25157 ÷ 32768     		x = 0.767730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24380 ÷ 215
    24380 ÷ 32768     		y = 0.7440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767730712890625 × 2 - 1) × π
    0.53546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68220168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53321379744788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68220168} λ = 1.68220168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53321379744788))-π/2
    2×atan(0.215840882587713)-π/2
    2×0.212579751145876-π/2
    0.425159502291752-1.57079632675     		φ = -1.14563682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68220168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.383057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14563682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.640155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25157 KachelY 24380 1.68220168 -1.14563682 96.383057 -65.640155
    Oben rechts KachelX + 1 25158 KachelY 24380 1.68239343 -1.14563682 96.394043 -65.640155
    Unten links KachelX 25157 KachelY + 1 24381 1.68220168 -1.14571591 96.383057 -65.644686
    Unten rechts KachelX + 1 25158 KachelY + 1 24381 1.68239343 -1.14571591 96.394043 -65.644686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14563682--1.14571591) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dl = 503.882390000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14563682--1.14571591) × R
    7.90900000000594e-05 × 6371000     		dr = 503.882390000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68220168-1.68239343) × cos(-1.14563682) × R
    0.000191750000000157 × 0.41246609336591 × 6371000     		do = 503.884768950373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68220168-1.68239343) × cos(-1.14571591) × R
    0.000191750000000157 × 0.412394043225066 × 6371000     		du = 503.79674967035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14563682)-sin(-1.14571591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41246609336591-0.412394043225066)×R²
    abs(1.68239343-1.68220168)×7.20501408439933e-05×R²
    0.000191750000000157×7.20501408439933e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.20501408439933e-05×40589641000000     		ar = 253876.486113558m²