Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25156 / 24381
↖ ↑ ↗
← S 65.644686°
E 96.372070°		 ← 503.80 m → S 65.644686°
E 96.383057°		 →
↑
503.75 m
↓
↑
503.75 m
↓
S 65.649217°
E 96.372070°		 ← 503.71 m →
253 768 m²		 S 65.649217°
E 96.383057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767715454101562 y=0.744064331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767715454101562 × 215)
    floor (0.767715454101562 × 32768)
    floor (25156.5)     		tx = 25156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744064331054688 × 215)
    floor (0.744064331054688 × 32768)
    floor (24381.5)     		ty = 24381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25156 / 24381 ti = "15/25156/24381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25156/24381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25156 ÷ 215
    25156 ÷ 32768     		x = 0.7677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24381 ÷ 215
    24381 ÷ 32768     		y = 0.744049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7677001953125 × 2 - 1) × π
    0.535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68200993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.48809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53340554504636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68200993} λ = 1.68200993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53340554504636))-π/2
    2×atan(0.215799499584495)-π/2
    2×0.212540209908452-π/2
    0.425080419816905-1.57079632675     		φ = -1.14571591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68200993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14571591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.644686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25156 KachelY 24381 1.68200993 -1.14571591 96.372070 -65.644686
    Oben rechts KachelX + 1 25157 KachelY 24381 1.68220168 -1.14571591 96.383057 -65.644686
    Unten links KachelX 25156 KachelY + 1 24382 1.68200993 -1.14579498 96.372070 -65.649217
    Unten rechts KachelX + 1 25157 KachelY + 1 24382 1.68220168 -1.14579498 96.383057 -65.649217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14571591--1.14579498) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dl = 503.754969999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14571591--1.14579498) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dr = 503.754969999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68200993-1.68220168) × cos(-1.14571591) × R
    0.000191749999999935 × 0.412394043225066 × 6371000     		do = 503.796749669766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68200993-1.68220168) × cos(-1.14579498) × R
    0.000191749999999935 × 0.412322008725367 × 6371000     		du = 503.70874949758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14571591)-sin(-1.14579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412394043225066-0.412322008725367)×R²
    abs(1.68220168-1.68200993)×7.20344996990585e-05×R²
    0.000191749999999935×7.20344996990585e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.20344996990585e-05×40589641000000     		ar = 253767.951386076m²