Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25154 / 24386
↖ ↑ ↗
← S 65.667329°
E 96.350098°		 ← 503.36 m → S 65.667329°
E 96.361084°		 →
↑
503.31 m
↓
↑
503.31 m
↓
S 65.671856°
E 96.350098°		 ← 503.27 m →
253 322 m²		 S 65.671856°
E 96.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767654418945312 y=0.744216918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767654418945312 × 215)
    floor (0.767654418945312 × 32768)
    floor (25154.5)     		tx = 25154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744216918945312 × 215)
    floor (0.744216918945312 × 32768)
    floor (24386.5)     		ty = 24386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25154 / 24386 ti = "15/25154/24386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25154/24386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25154 ÷ 215
    25154 ÷ 32768     		x = 0.76763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24386 ÷ 215
    24386 ÷ 32768     		y = 0.74420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76763916015625 × 2 - 1) × π
    0.5352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68162644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4884033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53436428303876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68162644} λ = 1.68162644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53436428303876))-π/2
    2×atan(0.215592703552949)-π/2
    2×0.212342607300907-π/2
    0.424685214601814-1.57079632675     		φ = -1.14611111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68162644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14611111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.667329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25154 KachelY 24386 1.68162644 -1.14611111 96.350098 -65.667329
    Oben rechts KachelX + 1 25155 KachelY 24386 1.68181819 -1.14611111 96.361084 -65.667329
    Unten links KachelX 25154 KachelY + 1 24387 1.68162644 -1.14619011 96.350098 -65.671856
    Unten rechts KachelX + 1 25155 KachelY + 1 24387 1.68181819 -1.14619011 96.361084 -65.671856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14611111--1.14619011) × R
    7.89999999999402e-05 × 6371000     		dl = 503.308999999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14611111--1.14619011) × R
    7.89999999999402e-05 × 6371000     		dr = 503.308999999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68162644-1.68181819) × cos(-1.14611111) × R
    0.000191749999999935 × 0.412033981627711 × 6371000     		do = 503.356884290021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68162644-1.68181819) × cos(-1.14619011) × R
    0.000191749999999935 × 0.411961998032156 × 6371000     		du = 503.268946304334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14611111)-sin(-1.14619011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412033981627711-0.411961998032156)×R²
    abs(1.68181819-1.68162644)×7.1983595555436e-05×R²
    0.000191749999999935×7.1983595555436e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.1983595555436e-05×40589641000000     		ar = 253321.92021654m²