Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25153 / 24895
↖ ↑ ↗
← S 67.871404°
E 96.339111°		 ← 460.18 m → S 67.871404°
E 96.350098°		 →
↑
460.11 m
↓
↑
460.11 m
↓
S 67.875541°
E 96.339111°		 ← 460.09 m →
211 714 m²		 S 67.875541°
E 96.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767623901367188 y=0.759750366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767623901367188 × 215)
    floor (0.767623901367188 × 32768)
    floor (25153.5)     		tx = 25153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759750366210938 × 215)
    floor (0.759750366210938 × 32768)
    floor (24895.5)     		ty = 24895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25153 / 24895 ti = "15/25153/24895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25153/24895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25153 ÷ 215
    25153 ÷ 32768     		x = 0.767608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24895 ÷ 215
    24895 ÷ 32768     		y = 0.759735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767608642578125 × 2 - 1) × π
    0.53521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68143469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.51947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63196381066519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68143469} λ = 1.68143469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63196381066519))-π/2
    2×atan(0.195545183098748)-π/2
    2×0.193108435542531-π/2
    0.386216871085062-1.57079632675     		φ = -1.18457946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68143469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18457946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.871404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25153 KachelY 24895 1.68143469 -1.18457946 96.339111 -67.871404
    Oben rechts KachelX + 1 25154 KachelY 24895 1.68162644 -1.18457946 96.350098 -67.871404
    Unten links KachelX 25153 KachelY + 1 24896 1.68143469 -1.18465168 96.339111 -67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 25154 KachelY + 1 24896 1.68162644 -1.18465168 96.350098 -67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18457946--1.18465168) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dl = 460.113620000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18457946--1.18465168) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dr = 460.113620000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68143469-1.68162644) × cos(-1.18457946) × R
    0.000191750000000157 × 0.376686648650111 × 6371000     		do = 460.175194942313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68143469-1.68162644) × cos(-1.18465168) × R
    0.000191750000000157 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 460.093465675388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18457946)-sin(-1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376686648650111-0.376619747339496)×R²
    abs(1.68162644-1.68143469)×6.690131061593e-05×R²
    0.000191750000000157×6.690131061593e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.690131061593e-05×40589641000000     		ar = 211714.072497388m²