Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25151 / 25340
↖ ↑ ↗
← S 69.641804°
E 96.317139°		 ← 424.97 m → S 69.641804°
E 96.328125°		 →
↑
424.95 m
↓
↑
424.95 m
↓
S 69.645625°
E 96.317139°		 ← 424.90 m →
180 574 m²		 S 69.645625°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767562866210938 y=0.773330688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767562866210938 × 215)
    floor (0.767562866210938 × 32768)
    floor (25151.5)     		tx = 25151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773330688476562 × 215)
    floor (0.773330688476562 × 32768)
    floor (25340.5)     		ty = 25340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25151 / 25340 ti = "15/25151/25340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25151/25340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25151 ÷ 215
    25151 ÷ 32768     		x = 0.767547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25340 ÷ 215
    25340 ÷ 32768     		y = 0.7733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767547607421875 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68105120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71729149198889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68105120} λ = 1.68105120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71729149198889))-π/2
    2×atan(0.17955180741706)-π/2
    2×0.177658777459642-π/2
    0.355317554919284-1.57079632675     		φ = -1.21547877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68105120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21547877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.641804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25151 KachelY 25340 1.68105120 -1.21547877 96.317139 -69.641804
    Oben rechts KachelX + 1 25152 KachelY 25340 1.68124294 -1.21547877 96.328125 -69.641804
    Unten links KachelX 25151 KachelY + 1 25341 1.68105120 -1.21554547 96.317139 -69.645625
    Unten rechts KachelX + 1 25152 KachelY + 1 25341 1.68124294 -1.21554547 96.328125 -69.645625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21547877--1.21554547) × R
    6.66999999998641e-05 × 6371000     		dl = 424.945699999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21547877--1.21554547) × R
    6.66999999998641e-05 × 6371000     		dr = 424.945699999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68105120-1.68124294) × cos(-1.21547877) × R
    0.000191739999999996 × 0.347888103718606 × 6371000     		do = 424.971598159623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68105120-1.68124294) × cos(-1.21554547) × R
    0.000191739999999996 × 0.347825569289469 × 6371000     		du = 424.895207630581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21547877)-sin(-1.21554547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347888103718606-0.347825569289469)×R²
    abs(1.68124294-1.68105120)×6.25344291376173e-05×R²
    0.000191739999999996×6.25344291376173e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.25344291376173e-05×40589641000000     		ar = 180573.622413174m²