Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25151 / 24251
↖ ↑ ↗
← S 65.048968°
E 96.317139°		 ← 515.31 m → S 65.048968°
E 96.328125°		 →
↑
515.29 m
↓
↑
515.29 m
↓
S 65.053602°
E 96.317139°		 ← 515.22 m →
265 511 m²		 S 65.053602°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767562866210938 y=0.740097045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767562866210938 × 215)
    floor (0.767562866210938 × 32768)
    floor (25151.5)     		tx = 25151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740097045898438 × 215)
    floor (0.740097045898438 × 32768)
    floor (24251.5)     		ty = 24251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25151 / 24251 ti = "15/25151/24251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25151/24251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25151 ÷ 215
    25151 ÷ 32768     		x = 0.767547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24251 ÷ 215
    24251 ÷ 32768     		y = 0.740081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767547607421875 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68105120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.48016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50847835724393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68105120} λ = 1.68105120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50847835724393))-π/2
    2×atan(0.221246379903967)-π/2
    2×0.217738833608561-π/2
    0.435477667217122-1.57079632675     		φ = -1.13531866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68105120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13531866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.048968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25151 KachelY 24251 1.68105120 -1.13531866 96.317139 -65.048968
    Oben rechts KachelX + 1 25152 KachelY 24251 1.68124294 -1.13531866 96.328125 -65.048968
    Unten links KachelX 25151 KachelY + 1 24252 1.68105120 -1.13539954 96.317139 -65.053602
    Unten rechts KachelX + 1 25152 KachelY + 1 24252 1.68124294 -1.13539954 96.328125 -65.053602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13531866--1.13539954) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dl = 515.286480000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13531866--1.13539954) × R
    8.08800000000609e-05 × 6371000     		dr = 515.286480000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68105120-1.68124294) × cos(-1.13531866) × R
    0.000191739999999996 × 0.421843534980997 × 6371000     		do = 515.313744039909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68105120-1.68124294) × cos(-1.13539954) × R
    0.000191739999999996 × 0.421770202241302 × 6371000     		du = 515.224162558816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13531866)-sin(-1.13539954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421843534980997-0.421770202241302)×R²
    abs(1.68124294-1.68105120)×7.33327396956196e-05×R²
    0.000191739999999996×7.33327396956196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.33327396956196e-05×40589641000000     		ar = 265511.125344069m²