Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25150 / 25005
↖ ↑ ↗
← S 68.322204°
E 96.306152°		 ← 451.26 m → S 68.322204°
E 96.317139°		 →
↑
451.19 m
↓
↑
451.19 m
↓
S 68.326262°
E 96.306152°		 ← 451.18 m →
203 587 m²		 S 68.326262°
E 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767532348632812 y=0.763107299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767532348632812 × 215)
    floor (0.767532348632812 × 32768)
    floor (25150.5)     		tx = 25150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763107299804688 × 215)
    floor (0.763107299804688 × 32768)
    floor (25005.5)     		ty = 25005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25150 / 25005 ti = "15/25150/25005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25150/25005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25150 ÷ 215
    25150 ÷ 32768     		x = 0.76751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25005 ÷ 215
    25005 ÷ 32768     		y = 0.763092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68085945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.52618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65305604649802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68085945} λ = 1.68085945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65305604649802))-π/2
    2×atan(0.191463891074593)-π/2
    2×0.189174452282968-π/2
    0.378348904565936-1.57079632675     		φ = -1.19244742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68085945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19244742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.322204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25150 KachelY 25005 1.68085945 -1.19244742 96.306152 -68.322204
    Oben rechts KachelX + 1 25151 KachelY 25005 1.68105120 -1.19244742 96.317139 -68.322204
    Unten links KachelX 25150 KachelY + 1 25006 1.68085945 -1.19251824 96.306152 -68.326262
    Unten rechts KachelX + 1 25151 KachelY + 1 25006 1.68105120 -1.19251824 96.317139 -68.326262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19244742--1.19251824) × R
    7.0820000000138e-05 × 6371000     		dl = 451.194220000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19244742--1.19251824) × R
    7.0820000000138e-05 × 6371000     		dr = 451.194220000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.19244742) × R
    0.000191749999999935 × 0.369386652655367 × 6371000     		do = 451.25723330976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.19251824) × R
    0.000191749999999935 × 0.369320840417385 × 6371000     		du = 451.176834496711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19244742)-sin(-1.19251824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369386652655367-0.369320840417385)×R²
    abs(1.68105120-1.68085945)×6.581223798241e-05×R²
    0.000191749999999935×6.581223798241e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.581223798241e-05×40589641000000     		ar = 203586.5177483m²