Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25150 / 24771
↖ ↑ ↗
← S 67.352555°
E 96.306152°		 ← 470.40 m → S 67.352555°
E 96.317139°		 →
↑
470.37 m
↓
↑
470.37 m
↓
S 67.356785°
E 96.306152°		 ← 470.32 m →
221 245 m²		 S 67.356785°
E 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767532348632812 y=0.755966186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767532348632812 × 215)
    floor (0.767532348632812 × 32768)
    floor (25150.5)     		tx = 25150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755966186523438 × 215)
    floor (0.755966186523438 × 32768)
    floor (24771.5)     		ty = 24771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25150 / 24771 ti = "15/25150/24771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25150/24771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25150 ÷ 215
    25150 ÷ 32768     		x = 0.76751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24771 ÷ 215
    24771 ÷ 32768     		y = 0.755950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68085945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.51190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60818710845364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68085945} λ = 1.68085945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60818710845364))-π/2
    2×atan(0.200250317312401)-π/2
    2×0.197636237982946-π/2
    0.395272475965891-1.57079632675     		φ = -1.17552385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68085945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17552385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.352555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25150 KachelY 24771 1.68085945 -1.17552385 96.306152 -67.352555
    Oben rechts KachelX + 1 25151 KachelY 24771 1.68105120 -1.17552385 96.317139 -67.352555
    Unten links KachelX 25150 KachelY + 1 24772 1.68085945 -1.17559768 96.306152 -67.356785
    Unten rechts KachelX + 1 25151 KachelY + 1 24772 1.68105120 -1.17559768 96.317139 -67.356785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17552385--1.17559768) × R
    7.38300000000525e-05 × 6371000     		dl = 470.370930000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17552385--1.17559768) × R
    7.38300000000525e-05 × 6371000     		dr = 470.370930000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.17552385) × R
    0.000191749999999935 × 0.385059669665918 × 6371000     		do = 470.40400605576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.17559768) × R
    0.000191749999999935 × 0.384991531523879 × 6371000     		du = 470.320765827024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17552385)-sin(-1.17559768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385059669665918-0.384991531523879)×R²
    abs(1.68105120-1.68085945)×6.8138142038765e-05×R²
    0.000191749999999935×6.8138142038765e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.8138142038765e-05×40589641000000     		ar = 221244.793012598m²