Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25150 / 24375
↖ ↑ ↗
← S 65.617487°
E 96.306152°		 ← 504.33 m → S 65.617487°
E 96.317139°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
S 65.622023°
E 96.306152°		 ← 504.24 m →
254 323 m²		 S 65.622023°
E 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767532348632812 y=0.743881225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767532348632812 × 215)
    floor (0.767532348632812 × 32768)
    floor (25150.5)     		tx = 25150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743881225585938 × 215)
    floor (0.743881225585938 × 32768)
    floor (24375.5)     		ty = 24375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25150 / 24375 ti = "15/25150/24375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25150/24375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25150 ÷ 215
    25150 ÷ 32768     		x = 0.76751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24375 ÷ 215
    24375 ÷ 32768     		y = 0.743865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68085945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53225505945547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68085945} λ = 1.68085945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53225505945547))-π/2
    2×atan(0.216047916672026)-π/2
    2×0.212777560965326-π/2
    0.425555121930652-1.57079632675     		φ = -1.14524120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68085945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14524120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.617487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25150 KachelY 24375 1.68085945 -1.14524120 96.306152 -65.617487
    Oben rechts KachelX + 1 25151 KachelY 24375 1.68105120 -1.14524120 96.317139 -65.617487
    Unten links KachelX 25150 KachelY + 1 24376 1.68085945 -1.14532036 96.306152 -65.622023
    Unten rechts KachelX + 1 25151 KachelY + 1 24376 1.68105120 -1.14532036 96.317139 -65.622023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14524120--1.14532036) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dl = 504.328359999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14524120--1.14532036) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dr = 504.328359999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.14524120) × R
    0.000191749999999935 × 0.412826460197729 × 6371000     		do = 504.325007215938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68085945-1.68105120) × cos(-1.14532036) × R
    0.000191749999999935 × 0.412754359208324 × 6371000     		du = 504.236925817317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14524120)-sin(-1.14532036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412826460197729-0.412754359208324)×R²
    abs(1.68105120-1.68085945)×7.21009894051328e-05×R²
    0.000191749999999935×7.21009894051328e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.21009894051328e-05×40589641000000     		ar = 254323.19295478m²