Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25149 / 24373
↖ ↑ ↗
← S 65.608415°
E 96.295166°		 ← 504.50 m → S 65.608415°
E 96.306152°		 →
↑
504.46 m
↓
↑
504.46 m
↓
S 65.612952°
E 96.295166°		 ← 504.41 m →
254 476 m²		 S 65.612952°
E 96.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767501831054688 y=0.743820190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767501831054688 × 215)
    floor (0.767501831054688 × 32768)
    floor (25149.5)     		tx = 25149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743820190429688 × 215)
    floor (0.743820190429688 × 32768)
    floor (24373.5)     		ty = 24373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25149 / 24373 ti = "15/25149/24373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25149/24373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25149 ÷ 215
    25149 ÷ 32768     		x = 0.767486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24373 ÷ 215
    24373 ÷ 32768     		y = 0.743804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767486572265625 × 2 - 1) × π
    0.53497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68066770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.48760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53187156425851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68066770} λ = 1.68066770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53187156425851))-π/2
    2×atan(0.216130785899342)-π/2
    2×0.212856733272766-π/2
    0.425713466545532-1.57079632675     		φ = -1.14508286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68066770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.295166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14508286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.608415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25149 KachelY 24373 1.68066770 -1.14508286 96.295166 -65.608415
    Oben rechts KachelX + 1 25150 KachelY 24373 1.68085945 -1.14508286 96.306152 -65.608415
    Unten links KachelX 25149 KachelY + 1 24374 1.68066770 -1.14516204 96.295166 -65.612952
    Unten rechts KachelX + 1 25150 KachelY + 1 24374 1.68085945 -1.14516204 96.306152 -65.612952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14508286--1.14516204) × R
    7.91799999999565e-05 × 6371000     		dl = 504.455779999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14508286--1.14516204) × R
    7.91799999999565e-05 × 6371000     		dr = 504.455779999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68066770-1.68085945) × cos(-1.14508286) × R
    0.000191749999999935 × 0.412970672630284 × 6371000     		do = 504.501182783885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68066770-1.68085945) × cos(-1.14516204) × R
    0.000191749999999935 × 0.412898558600238 × 6371000     		du = 504.413085454305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14508286)-sin(-1.14516204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412970672630284-0.412898558600238)×R²
    abs(1.68085945-1.68066770)×7.21140300464773e-05×R²
    0.000191749999999935×7.21140300464773e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.21140300464773e-05×40589641000000     		ar = 254476.317201457m²